Problema 3:
Resuelve la siguiente integral aplicando integración por partes: \[ \int e^{x}\cos x\,dx \]
Cálculo Integral · Integral indefinida: integración por partes
Integral de eˣ·cos(x) por partes (integral cíclica)
La fórmula ∫u dv = uv − ∫v du, la regla ILATE y las integrales cíclicas.
Tema: Integral indefinida: integración por partes
Problema 3 de los 3 de este tema. Lee el enunciado, observa la figura y abre la solución en pantalla completa.
Ver el desarrollo escrito enunciado, pasos y explicación en palabras
Tema: Integración por partes (integral cíclica)
Problema: Resolver la integral aplicando integración por partes $$\int e^{x} \cos x\, dx$$
$\color{red}{\textbf{Solución:}}$
Paso 1: Dar nombre a la integral
Ninguno de los dos factores se simplifica al derivarlo: la exponencial se repite igual y el coseno solo alterna con el seno. Por eso conviene llamar $I$ a la integral desde el principio: $$I = \int e^{x} \cos x\, dx$$
Paso 2: Elegir u y dv con la regla ILATE
En el orden ILATE la función trigonométrica aparece antes que la exponencial, así que el coseno es el que se deriva:
- $u = \cos x$ ⇒ $du = -\operatorname{sen} x\, dx$
- $dv = e^{x}\, dx$ ⇒ $v = e^{x}$
Paso 3: Aplicar la fórmula de integración por partes
$$\int u\,dv = u\,v - \int v\,du$$
$$I = e^{x}\cos x - \int e^{x}\left(-\operatorname{sen} x\right) dx$$
$$I = e^{x}\cos x + \int e^{x}\operatorname{sen} x\, dx$$
Paso 4: Integrar por partes una segunda vez
La integral que quedó no es más simple que la original, pero se integra igual:
- $u = \operatorname{sen} x$ ⇒ $du = \cos x\, dx$
- $dv = e^{x}\, dx$ ⇒ $v = e^{x}$
$$\int e^{x}\operatorname{sen} x\, dx = e^{x}\operatorname{sen} x - \int e^{x}\cos x\, dx$$
Paso 5: Reconocer la integral original
La integral que quedó es exactamente $I$, la que teníamos al empezar. Al reemplazar en el Paso 3: $$I = e^{x}\cos x + e^{x}\operatorname{sen} x - I$$
Paso 6: Despejar I
La integral se comporta como una incógnita: pasamos la $I$ del lado derecho al izquierdo y factorizamos $e^{x}$. $$2I = e^{x}\left(\cos x + \operatorname{sen} x\right)$$
$$I = \frac{e^{x}\left(\cos x + \operatorname{sen} x\right)}{2} + C$$
Paso 7: Escribir la solución final
La solución de la integral es: $$\boxed{\int e^{x} \cos x\, dx = \frac{e^{x}\left(\cos x + \operatorname{sen} x\right)}{2} + C}$$
La explicación, en palabras
Observemos la estructura de esta integral.
Tenemos el producto de dos funciones de distinto tipo. Una es exponencial, e elevado a equis, y la otra es trigonométrica, coseno de equis.
Ninguna de las dos se simplifica al derivarla. La exponencial se repite igual, y el coseno solo alterna con el seno. No hay cambio de variable posible, y tampoco hay una potencia que vaya bajando de grado como en los problemas anteriores.
Por eso, antes de empezar, le damos un nombre a la integral. La llamamos I. Ese nombre es la clave de este problema, como veremos al final.
Aplicamos la integración por partes. Para elegir la parte que se deriva seguimos el orden de la palabra ILATE. Inversa, logarítmica, algebraica, trigonométrica, exponencial. La trigonométrica aparece antes que la exponencial, así que derivamos el coseno.
Llamamos u al coseno de equis. Su derivada es menos seno de equis, por el diferencial de equis.
El resto es el diferencial de v. La exponencial es su propia integral, de modo que v vuelve a ser e elevado a equis.
Aplicamos ahora la fórmula de la integración por partes. La integral de u por el diferencial de v es igual a u por v, menos la integral de v por el diferencial de u.
Al reemplazar aparecen dos signos negativos, uno de la fórmula y otro de la derivada del coseno.
Esos dos negativos se convierten en un más, y nos queda una integral nueva: e elevado a equis por seno de equis.
Observemos con atención. Esta integral nueva no es más simple que la original: es igual de difícil. Aun así seguimos, porque el método está a punto de devolvernos algo mejor que una simplificación.
Aplicamos la integración por partes una segunda vez, ahora sobre esa integral.
Llamamos u al seno de equis, cuya derivada es coseno de equis por el diferencial de equis.
El diferencial de v sigue siendo la exponencial, y su integral vuelve a ser e elevado a equis.
Aplicamos otra vez la fórmula. Y aquí ocurre lo interesante: la integral que queda es exactamente la integral con la que empezamos.
Es la misma que llamamos I. La integral ha vuelto sobre sí misma, y por eso se dice que es una integral cíclica.
Cuando esto ocurre no hay que seguir integrando, porque daríamos vueltas sin avanzar. Lo que hay que hacer es despejar.
Regresamos a la primera igualdad y escribimos I en lugar de la integral que reapareció. La integral pasa a comportarse como una incógnita.
Pasamos esa I al lado izquierdo. Nos queda dos I igual a e elevado a equis, que extraemos como factor común, por coseno de equis más seno de equis.
Dividimos entre dos y obtenemos el resultado final, sin olvidar la constante de integración.
Conviene retener la idea. Cuando al integrar por partes reaparece la integral original, no se sigue integrando: se le da nombre, se trata como una incógnita y se despeja.
Propiedades que se aplican
-
Elección de u (ILATE) El orden de la palabra ILATE decide qué parte del integrando se deriva en integración por partes: gana la que aparezca primero en ese orden y el resto queda para integrar.\[\begin{aligned} &\textbf{I}\text{nversa} \cdot \textbf{L}\text{ogarítmica} \cdot \textbf{A}\text{lgebraica} \cdot \textbf{T}\text{rigonométrica} \cdot \textbf{E}\text{xponencial} \\[8pt] &u = \text{la primera que aparezca} \qquad dv = \text{el resto}\end{aligned}\]
-
Integración por partes Sirve cuando el integrando es un producto de funciones de distinto tipo y no hay una sustitución directa: una parte se deriva y la otra se integra.\[\int u\,dv \;=\; u\,v \;-\; \int v\,du\]
-
Derivada del seno y del coseno Al derivar el seno aparece el coseno; al derivar el coseno aparece el seno con signo negativo. Ninguno de los dos se simplifica al derivarlo: solo alternan entre sí, y por eso al integrar por partes la integral termina volviendo sobre sí misma.\[\begin{aligned} &\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen} x\bigr) = \cos x \\[6pt] &\frac{d}{dx}\bigl(\cos x\bigr) = -\operatorname{sen} x\end{aligned}\]
-
Integral de la exponencial La función exponencial es su propia integral, igual que es su propia derivada. Si el exponente lleva un coeficiente, al integrar hay que dividir entre ese coeficiente.\[\begin{aligned} &\int e^{u}\,du = e^{u} + C \\[6pt] &\int e^{ax}\,dx = \frac{e^{ax}}{a} + C\end{aligned}\]
-
Integral cíclica Cuando al integrar por partes reaparece la integral original, no se sigue integrando: se trata como una incógnita y se despeja.\[\begin{aligned} I &= A - I \\[6pt] 2I &= A \;\Longrightarrow\; I = \frac{A}{2}\end{aligned}\]
¿Y si tu problema es otro?
Escríbelo y el asistente matemático lo resuelve paso a paso, con su gráfica cuando el problema la necesita. Las primeras consultas no cuestan nada.
Resolver mi problema Entras con tu cuenta de Google. No hace falta tarjeta.