Problema 2:
Resuelve la siguiente integral aplicando integración por partes: \[ \int x^{5}\ln(2x)\,dx \]
Cálculo Integral · Integral indefinida: integración por partes
Integral de x⁵·ln(2x) por partes
La fórmula ∫u dv = uv − ∫v du, la regla ILATE y las integrales cíclicas.
Tema: Integral indefinida: integración por partes
Problema 2 de los 3 de este tema. Lee el enunciado, observa la figura y abre la solución en pantalla completa.
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Tema: Integración por partes
Problema: Resolver la integral aplicando integración por partes $$\int x^{5} \ln(2x)\, dx$$
$\color{red}{\textbf{Solución:}}$
Paso 1: Elegir u y dv con la regla ILATE
En el orden ILATE la función logarítmica aparece antes que la algebraica, así que el logaritmo es el que se deriva:
- $u = \ln(2x)$ ⇒ $du = \dfrac{2}{2x}\,dx = \dfrac{1}{x}\,dx$
- $dv = x^{5}\,dx$ ⇒ $v = \dfrac{x^{6}}{6}$
Paso 2: Aplicar la fórmula de integración por partes
$$\int u\,dv = u\,v - \int v\,du$$
$$\int x^{5} \ln(2x)\, dx = \ln(2x) \cdot \frac{x^{6}}{6} - \int \frac{x^{6}}{6} \cdot \frac{1}{x}\, dx$$
$$= \frac{x^{6}\ln(2x)}{6} - \frac{1}{6}\int x^{5}\, dx$$
Paso 3: Resolver la integral restante
$$\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$$
Paso 4: Sustituir y simplificar
$$\int x^{5} \ln(2x)\, dx = \frac{x^{6}\ln(2x)}{6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{x^{6}}{6} + C$$
$$= \frac{x^{6}\ln(2x)}{6} - \frac{x^{6}}{36} + C$$
Paso 5: Factorizar
Factorizando $\dfrac{x^{6}}{6}$: $$= \frac{x^{6}}{6}\left(\ln(2x) - \frac{1}{6}\right) + C$$
Paso 6: Escribir la solución final
La solución de la integral es: $$\boxed{\int x^{5} \ln(2x)\, dx = \frac{x^{6}}{6}\ln(2x) - \frac{x^{6}}{36} + C}$$
La explicación, en palabras
Observemos la estructura de esta integral.
Tenemos el producto de dos funciones de distinto tipo. Una es algebraica, equis a la quinta, y la otra es logarítmica, logaritmo natural de dos equis.
Al derivar una de ellas no obtenemos la otra, de modo que aquí no hay cambio de variable posible. El método adecuado es la integración por partes.
Para elegir la parte que se deriva seguimos el orden de la palabra ILATE. Inversa, logarítmica, algebraica, trigonométrica, exponencial. Entre nuestras dos funciones la logarítmica aparece primero, de modo que esta vez el logaritmo es el que se deriva.
Llamamos u al logaritmo natural de dos equis. Al derivarlo obtenemos dos sobre dos equis, y el dos se simplifica: queda uno sobre equis, por el diferencial de equis.
Conviene detenerse en ese detalle. El coeficiente que acompaña a la equis dentro del logaritmo desaparece al derivar. Por eso el dos no vuelve a aparecer en el resto del desarrollo.
El resto es el diferencial de v. Al integrarlo aplicamos la regla de la potencia: el exponente sube de cinco a seis y dividimos entre ese nuevo exponente.
Aplicamos ahora la fórmula de la integración por partes. La integral de u por el diferencial de v es igual a u por v, menos la integral de v por el diferencial de u.
Al reemplazar obtenemos el primer término, y una integral nueva en la que se multiplican equis a la sexta sobre seis, y uno sobre equis.
Esa multiplicación simplifica una equis, así que el exponente baja de seis a cinco. Además sacamos el un sexto fuera del signo integral, porque un factor constante puede esperar afuera.
Observemos lo que hemos ganado. El logaritmo ya no está dentro de la integral. Lo que queda es una potencia sola, y esa sí es inmediata.
Resolvamos entonces esa integral que dejamos pendiente.
Aplicamos otra vez la regla de la potencia. El exponente sube a seis y dividimos entre seis.
Con ese resultado regresamos a la expresión anterior.
Al multiplicar un sexto por equis a la sexta sobre seis obtenemos equis a la sexta sobre treinta y seis. Y no olvidemos la constante de integración.
Los dos términos comparten equis a la sexta sobre seis. La extraemos como factor común.
Obtenemos así el resultado final.
Conviene retener la idea. Cuando en el integrando aparece un logaritmo, ILATE lo elige siempre para derivar. Derivarlo lo convierte en una fracción sencilla, y la integral que queda ya no tiene logaritmo.
Propiedades que se aplican
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Elección de u (ILATE) El orden de la palabra ILATE decide qué parte del integrando se deriva en integración por partes: gana la que aparezca primero en ese orden y el resto queda para integrar.\[\begin{aligned} &\textbf{I}\text{nversa} \cdot \textbf{L}\text{ogarítmica} \cdot \textbf{A}\text{lgebraica} \cdot \textbf{T}\text{rigonométrica} \cdot \textbf{E}\text{xponencial} \\[8pt] &u = \text{la primera que aparezca} \qquad dv = \text{el resto}\end{aligned}\]
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Integración por partes Sirve cuando el integrando es un producto de funciones de distinto tipo y no hay una sustitución directa: una parte se deriva y la otra se integra.\[\int u\,dv \;=\; u\,v \;-\; \int v\,du\]
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Derivada del logaritmo natural Al derivar un logaritmo natural queda el recíproco de lo que está adentro, multiplicado por la derivada de ese contenido. Cuando adentro hay un múltiplo de la variable, ese coeficiente se simplifica y desaparece del resultado.\[\begin{aligned} &\frac{d}{dx}\bigl(\ln u\bigr) = \frac{u'}{u} \\[6pt] &\frac{d}{dx}\bigl(\ln(ax)\bigr) = \frac{a}{ax} = \frac{1}{x}\end{aligned}\]
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Regla de la potencia La integral de una potencia sube el exponente en uno y divide entre ese nuevo exponente. No aplica cuando el exponente es menos uno, porque el denominador se anularía.\[\int u^{n}\,du \;=\; \frac{u^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \neq -1\]
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Constante fuera de la integral Un factor constante puede salir del signo integral y esperar afuera. Es lo que permite usar la sustitución cuando el factor que acompaña no es la derivada exacta, sino un múltiplo de ella: se ajusta la constante y el método sigue siendo válido.\[\int k\,f(x)\,dx \;=\; k \int f(x)\,dx\]
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