Problema 1:
Resuelve la siguiente integral aplicando integración por partes: \[ \int x^{2}e^{5x}\,dx \]
Cálculo Integral · Integral indefinida: integración por partes
Integral de x²·e^(5x) por partes
La fórmula ∫u dv = uv − ∫v du, la regla ILATE y las integrales cíclicas.
Tema: Integral indefinida: integración por partes
Problema 1 de los 3 de este tema. Lee el enunciado, observa la figura y abre la solución en pantalla completa.
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Tema: Integración por partes
Problema: Resolver la integral aplicando integración por partes $$\int x^2 e^{5x} dx$$
$\color{red}{\textbf{Solución:}}$
Paso 1: Primera integración por partes
Aplicamos integración por partes con:
- $u = x^2$ ⇒ $du = 2x dx$
- $dv = e^{5x} dx$ ⇒ $v = \frac{e^{5x}}{5}$
Entonces: $$\int x^2 e^{5x} dx = x^2 \cdot \frac{e^{5x}}{5} - \int \frac{e^{5x}}{5} \cdot 2x dx = \frac{x^2 e^{5x}}{5} - \frac{2}{5}\int x e^{5x} dx$$
Paso 2: Segunda integración por partes
Para resolver $\int x e^{5x} dx$, aplicamos integración por partes nuevamente:
- $u = x$ ⇒ $du = dx$
- $dv = e^{5x} dx$ ⇒ $v = \frac{e^{5x}}{5}$
Entonces: $$\int x e^{5x} dx = x \cdot \frac{e^{5x}}{5} - \int \frac{e^{5x}}{5} dx = \frac{x e^{5x}}{5} - \frac{1}{5}\int e^{5x} dx$$
Paso 3: Resolver la integral restante
$$\int e^{5x} dx = \frac{e^{5x}}{5}$$
Paso 4: Sustituir en la segunda integración por partes
$$\int x e^{5x} dx = \frac{x e^{5x}}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{e^{5x}}{5} = \frac{x e^{5x}}{5} - \frac{e^{5x}}{25}$$
Paso 5: Sustituir en la primera integración por partes
$$\int x^2 e^{5x} dx = \frac{x^2 e^{5x}}{5} - \frac{2}{5}\left(\frac{x e^{5x}}{5} - \frac{e^{5x}}{25}\right)$$
$$= \frac{x^2 e^{5x}}{5} - \frac{2x e^{5x}}{25} + \frac{2e^{5x}}{125}$$
Paso 6: Factorizar
Factorizando $e^{5x}$: $$= e^{5x}\left(\frac{x^2}{5} - \frac{2x}{25} + \frac{2}{125}\right) + C$$
Simplificando con denominador común 125: $$= e^{5x}\left(\frac{25x^2}{125} - \frac{10x}{125} + \frac{2}{125}\right) + C = \frac{e^{5x}(25x^2 - 10x + 2)}{125} + C$$
Paso 7: Escribir la solución final
La solución de la integral es: $$\boxed{\int x^2 e^{5x} dx = \frac{e^{5x}(25x^2 - 10x + 2)}{125} + C}$$
La explicación, en palabras
Observemos la estructura de esta integral.
Tenemos el producto de dos funciones de distinto tipo. Una es algebraica, equis al cuadrado, y la otra es exponencial, e elevado a cinco equis.
Al derivar la parte algebraica no obtenemos la exponencial, ni a la inversa, de modo que aquí no hay cambio de variable posible. El método adecuado es la integración por partes.
Para elegir la parte que se deriva seguimos el orden de la palabra ILATE. Inversa, logarítmica, algebraica, trigonométrica, exponencial. Entre nuestras dos funciones, la algebraica aparece primero.
Llamamos u a equis al cuadrado. Al derivarlo obtenemos dos equis por el diferencial de equis.
El resto es el diferencial de v. Al integrarlo obtenemos e elevado a cinco equis, dividido entre cinco. Recordemos que cuando el exponente lleva un coeficiente, al integrar hay que dividir entre ese coeficiente.
Aplicamos ahora la fórmula de la integración por partes. La integral de u por el diferencial de v es igual a u por v, menos la integral de v por el diferencial de u.
Al reemplazar obtenemos el primer término, y una integral nueva que arrastra el factor dos quintos. Recordemos que un factor constante puede salir del signo integral.
Observemos lo que hemos ganado. El exponente de equis bajó de dos a uno. La nueva integral es más simple que la original, aunque todavía no es inmediata.
Por ese motivo aplicamos la integración por partes una segunda vez, ahora sobre esa integral.
Llamamos u a equis, cuya derivada es simplemente el diferencial de equis.
El diferencial de v sigue siendo la exponencial, y su integral vuelve a ser e elevado a cinco equis dividido entre cinco.
Aplicamos otra vez la fórmula.
Esta vez la integral que queda es inmediata. La exponencial se integra sola, y al hacerlo el exponente de equis ha desaparecido por completo.
Con ese resultado regresamos a la primera integración por partes.
Reemplazamos la integral que habíamos dejado pendiente.
Distribuimos el factor dos quintos.
Los tres términos comparten la exponencial. La extraemos como factor común y reducimos las fracciones a denominador común, que es ciento veinticinco.
Obtenemos así el resultado final, sin olvidar la constante de integración.
Conviene retener la idea. Cuando la parte algebraica es una potencia, cada integración por partes le baja un grado. Se repite el método tantas veces como haga falta, hasta que esa potencia desaparezca.
Propiedades que se aplican
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Elección de u (ILATE) El orden de la palabra ILATE decide qué parte del integrando se deriva en integración por partes: gana la que aparezca primero en ese orden y el resto queda para integrar.\[\begin{aligned} &\textbf{I}\text{nversa} \cdot \textbf{L}\text{ogarítmica} \cdot \textbf{A}\text{lgebraica} \cdot \textbf{T}\text{rigonométrica} \cdot \textbf{E}\text{xponencial} \\[8pt] &u = \text{la primera que aparezca} \qquad dv = \text{el resto}\end{aligned}\]
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Integración por partes Sirve cuando el integrando es un producto de funciones de distinto tipo y no hay una sustitución directa: una parte se deriva y la otra se integra.\[\int u\,dv \;=\; u\,v \;-\; \int v\,du\]
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Integral de la exponencial La función exponencial es su propia integral, igual que es su propia derivada. Si el exponente lleva un coeficiente, al integrar hay que dividir entre ese coeficiente.\[\begin{aligned} &\int e^{u}\,du = e^{u} + C \\[6pt] &\int e^{ax}\,dx = \frac{e^{ax}}{a} + C\end{aligned}\]
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Constante fuera de la integral Un factor constante puede salir del signo integral y esperar afuera. Es lo que permite usar la sustitución cuando el factor que acompaña no es la derivada exacta, sino un múltiplo de ella: se ajusta la constante y el método sigue siendo válido.\[\int k\,f(x)\,dx \;=\; k \int f(x)\,dx\]
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