Problema 18:
Calcule la siguiente integral indefinida: \[ \int \frac{1+\operatorname{sen}x}{\cos^{2}x}\,dx \]
Cálculo Integral · Integral indefinida: propiedades básicas
Integral de (1+sen x)/cos²x paso a paso
Integrar una constante, la regla de la potencia, el factor constante que sale de la integral, la suma de términos y la integral del recíproco.
Tema: Integral indefinida: propiedades básicas
Problema 18 de los 18 de este tema. Lee el enunciado, observa la figura y abre la solución en pantalla completa.
Ver el desarrollo escrito enunciado, pasos y explicación en palabras
Paso 1: Analizar el cociente El numerador \(1+\operatorname{sen}x\) tiene dos términos y el denominador \(\cos^{2}x\) es uno solo. Por eso conviene repartir el cociente término a término: \[ \frac{1+\operatorname{sen}x}{\cos^{2}x} =\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{\operatorname{sen}x}{\cos^{2}x}. \]
Paso 2: Separar las integrales Aplicamos la propiedad de la integral de una suma: \[ \int\frac{1+\operatorname{sen}x}{\cos^{2}x}\,dx =\int\frac{1}{\cos^{2}x}\,dx +\int\frac{\operatorname{sen}x}{\cos^{2}x}\,dx. \]
Paso 3: Reescribir el primer término La secante es el recíproco del coseno: \[ \sec x=\frac{1}{\cos x}. \] Al elevar al cuadrado: \[ \frac{1}{\cos^{2}x}=\sec^{2}x. \]
Paso 4: Reescribir el segundo término Separamos uno de los factores del denominador: \[ \frac{\operatorname{sen}x}{\cos^{2}x} =\frac{\operatorname{sen}x}{\cos x}\cdot\frac{1}{\cos x}. \] Usamos las identidades \[ \tan x=\frac{\operatorname{sen}x}{\cos x}, \qquad \sec x=\frac{1}{\cos x}. \] Por tanto, \[ \frac{\operatorname{sen}x}{\cos^{2}x}=\tan x\,\sec x. \]
Paso 5: Integrar las formas básicas La integral se convierte en \[ \int\sec^{2}x\,dx+\int\sec x\tan x\,dx. \] Aplicamos las fórmulas \[ \int\sec^{2}x\,dx=\tan x, \qquad \int\sec x\tan x\,dx=\sec x. \]
Respuesta final: \[ \boxed{\int \frac{1+\operatorname{sen}x}{\cos^{2}x}\,dx =\tan x+\sec x+C} \]
Este contenido es un borrador docente y requiere revisión humana antes de considerarse aprobado.
La explicación, en palabras
Tenemos la integral de uno más seno de equis, dividido entre coseno al cuadrado de equis.
¿Qué conviene hacer primero? El numerador tiene dos términos y el denominador es uno solo. Por eso podemos repartir el cociente término a término.
Aplicamos esta propiedad: una suma dividida entre un mismo término es igual a la suma de cada término dividido entre ese denominador.
La integral se separa en dos: la integral de uno entre coseno al cuadrado, más la integral de seno entre coseno al cuadrado.
Comencemos con el primer término. Uno entre coseno al cuadrado es secante al cuadrado, por la identidad recíproca.
En el segundo término necesitamos reconocer dos funciones. ¿Cómo podemos separar seno entre coseno al cuadrado?
Escribimos seno entre coseno, multiplicado por uno entre coseno. Al multiplicar estas fracciones se recupera seno entre coseno al cuadrado.
Seno entre coseno es tangente, y uno entre coseno es secante. Por eso el segundo término se convierte en tangente por secante.
La expresión completa queda como la integral de secante al cuadrado, más la integral de secante por tangente.
La primera es una integral básica: la integral de secante al cuadrado es tangente de equis, más ce.
La segunda también es básica: la integral de secante por tangente es secante de equis, más ce.
Reemplazamos la primera integral por tangente de equis.
Reemplazamos la segunda integral por secante de equis. Las constantes se reúnen en una sola ce.
La respuesta es tangente de equis, más secante de equis, más ce.
La idea clave fue aprovechar que el denominador era un solo término. Al repartir el cociente, aparecieron dos identidades trigonométricas y luego dos integrales básicas.
Propiedades que se aplican
-
Repartir el cociente término a término Cuando el numerador tiene varios términos y el denominador es uno solo, el cociente se reparte: cada término del numerador se divide entre ese denominador. Si los dos son potencias de la misma base, la división se resuelve restando los exponentes. Es el paso previo que convierte una fracción en una suma de términos que ya se saben integrar.\[\begin{aligned} &\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} \\[6pt] &\frac{x^{m}}{x^{n}} = x^{\,m-n}\end{aligned}\]
-
Integral de una suma Cuando el integrando tiene varios términos separados por sumas o restas, la integral se reparte: se integra cada término por su cuenta y se conservan los signos. Cada una de esas integrales genera su propia constante, y como al sumarlas resulta otra constante, al final se escribe una sola que las representa.\[\int \bigl[f(x) \pm g(x)\bigr]\,dx \;=\; \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx\]
-
Identidad recíproca de la secante La secante es el recíproco del coseno. Al elevar ambos lados al cuadrado, el recíproco del coseno al cuadrado se reconoce como secante al cuadrado.\[\begin{aligned} &\sec x=\frac{1}{\cos x} \\[6pt] &\sec^2x=\frac{1}{\cos^2x}\end{aligned}\]
-
Identidad de cociente de la tangente La tangente es el cociente entre el seno y el coseno. Esta identidad permite reconocerla cuando ambos aparecen formando una fracción.\[\tan x=\frac{\operatorname{sen}x}{\cos x}\]
-
Integral de la secante al cuadrado La secante al cuadrado es la derivada de la tangente. Por ello su integral inmediata es la tangente más la constante de integración.\[\int\sec^2x\,dx=\tan x+C\]
-
Integral de secante por tangente El producto de la secante por la tangente es la derivada de la secante. Por ello su integral inmediata es la secante más la constante de integración.\[\int\sec x\tan x\,dx=\sec x+C\]
¿Y si tu problema es otro?
Escríbelo y el asistente matemático lo resuelve paso a paso, con su gráfica cuando el problema la necesita. Las primeras consultas no cuestan nada.
Resolver mi problema Entras con tu cuenta de Google. No hace falta tarjeta.