Problema 17:
Calcule la siguiente integral indefinida: \[ \int \frac{1-\operatorname{sen}^{2}x}{\cos^{4}x}\,dx \]
Cálculo Integral · Integral indefinida: propiedades básicas
Integral de (1−sen²x)/cos⁴x paso a paso
Integrar una constante, la regla de la potencia, el factor constante que sale de la integral, la suma de términos y la integral del recíproco.
Tema: Integral indefinida: propiedades básicas
Problema 17 de los 18 de este tema. Lee el enunciado, observa la figura y abre la solución en pantalla completa.
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Paso 1: Analizar el integrando El numerador \(1-\operatorname{sen}^{2}x\) tiene dos términos y el denominador es una potencia de coseno. En este caso conviene transformar el numerador en un solo término, porque así podrá simplificarse con la potencia de coseno que aparece abajo.
Paso 2: Aplicar la identidad trigonométrica pitagórica La identidad fundamental es \[ \operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x=1. \] Al despejar \(\cos^{2}x\), se obtiene \[ 1-\operatorname{sen}^{2}x=\cos^{2}x=(\cos x)^{2}. \] Las expresiones \(\cos^{2}x\) y \((\cos x)^{2}\) significan lo mismo: toda la función \(\cos x\) es la base que está elevada al cuadrado.
Paso 3: Sustituir la identidad en el integrando \[ \int\frac{1-\operatorname{sen}^{2}x}{\cos^{4}x}\,dx =\int\frac{\cos^{2}x}{\cos^{4}x}\,dx. \] Ahora el numerador y el denominador son potencias de coseno.
Paso 4: Reducir el cociente de potencias Al dividir potencias de la misma base, se restan los exponentes: \[ \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}. \] Por tanto, \[ \frac{\cos^{2}x}{\cos^{4}x} =\cos^{2-4}x =\cos^{-2}x =\frac{1}{\cos^{2}x}. \]
Paso 5: Reconocer la identidad recíproca Como \[ \sec x=\frac{1}{\cos x}, \] al elevar al cuadrado resulta \[ \sec^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x}. \] La integral queda \[ \int\sec^{2}x\,dx. \]
Paso 6: Aplicar la integral de secante al cuadrado \[ \int\sec^{2}x\,dx=\tan x+C. \]
Respuesta final: \[ \boxed{\int \frac{1-\operatorname{sen}^{2}x}{\cos^{4}x}\,dx=\tan x+C} \]
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La explicación, en palabras
Tenemos la integral de uno menos seno al cuadrado de equis, dividido entre coseno a la cuarta de equis.
¿Qué observamos en el integrando? El numerador tiene dos términos, mientras que el denominador es una potencia de coseno. En este caso conviene convertir el numerador en un solo término, para que se pueda simplificar con el denominador.
¿Podemos transformar el numerador en una potencia de la misma base que aparece en el denominador? Sí. Para hacerlo usamos la identidad pitagórica.
La identidad establece que seno al cuadrado de equis más coseno al cuadrado de equis es igual a uno.
Al despejar coseno al cuadrado, obtenemos que uno menos seno al cuadrado de equis es igual a coseno al cuadrado de equis. Observemos la notación: también puede escribirse con coseno de equis entre paréntesis, y todo el paréntesis elevado al cuadrado. En ambos casos, toda la función coseno es la base.
Reemplazamos el numerador. La integral queda con coseno al cuadrado arriba y coseno a la cuarta abajo.
Ahora surge una nueva pregunta. ¿Cómo simplificamos un cociente de potencias que tienen la misma base?
Aplicamos la propiedad del cociente de potencias de igual base: conservamos la base y restamos el exponente del denominador al del numerador.
Restamos cuatro a dos. Dos menos cuatro es menos dos, así que obtenemos coseno elevado a menos dos.
Un exponente negativo indica un recíproco. Coseno elevado a menos dos es uno entre coseno al cuadrado.
¿Qué función trigonométrica corresponde al recíproco del coseno? La secante. Por eso, uno entre coseno al cuadrado es secante al cuadrado.
Sustituimos la identidad recíproca y la integral queda como la integral de secante al cuadrado de equis.
Esta ya es una integral básica. La integral de secante al cuadrado de equis es tangente de equis, más ce.
Reemplazamos la integral por tangente de equis, más la constante de integración.
La respuesta es tangente de equis, más ce. La idea clave fue transformar el numerador con la identidad pitagórica, reducir el cociente de potencias y reconocer la secante al cuadrado.
Propiedades que se aplican
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Identidad trigonométrica pitagórica El cuadrado del seno más el cuadrado del coseno es uno. Despejar uno de ellos permite reemplazar una diferencia de cuadrados por un solo término trigonométrico.\[\begin{aligned} &\operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1 \\[6pt] &1-\operatorname{sen}^2x=\cos^2x=(\cos x)^2 \\[6pt] &1-\cos^2x=\operatorname{sen}^2x\end{aligned}\]
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Cociente de potencias de igual base Cuando se dividen potencias de la misma base, la base se conserva y al exponente del numerador se le resta el exponente del denominador.\[\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\]
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Identidad recíproca de la secante La secante es el recíproco del coseno. Al elevar ambos lados al cuadrado, el recíproco del coseno al cuadrado se reconoce como secante al cuadrado.\[\begin{aligned} &\sec x=\frac{1}{\cos x} \\[6pt] &\sec^2x=\frac{1}{\cos^2x}\end{aligned}\]
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Integral de la secante al cuadrado La secante al cuadrado es la derivada de la tangente. Por ello su integral inmediata es la tangente más la constante de integración.\[\int\sec^2x\,dx=\tan x+C\]
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