Problema 1:
Resuelva la siguiente integral indefinida: \[ \int 4 \, dx \]
Cálculo Integral · Integral indefinida: propiedades básicas
Integral 4
Integrar una constante, la regla de la potencia, el factor constante que sale de la integral, la suma de términos y la integral del recíproco.
Tema: Integral indefinida: propiedades básicas
Problema 1 de los 11 de este tema. Lee el enunciado, observa la figura y abre la solución en pantalla completa.
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Paso 1: Identificar el integrando El integrando es el número 4, que no depende de \( x \): es una constante.
Paso 2: Aplicar la integral de una constante \[ \int k \, dx = kx + C \] En este caso \( k = 4 \).
Paso 3: Sustituir el valor de la constante \[ \int 4 \, dx = 4x + C \]
Paso 4: Comprobar derivando \[ \frac{d}{dx}\left( 4x + C \right) = 4 \] Se recupera el integrando, así que el resultado es correcto.
Respuesta final: \[ \boxed{\int 4 \, dx = 4x + C} \]
La explicación, en palabras
Tenemos la integral de una constante. En este caso, el cuatro.
¿Y cómo nos damos cuenta de que es una constante? Mira el integrando: no aparece la variable equis por ninguna parte. Así es como nos damos cuenta.
Para ello aplicamos la siguiente propiedad.
Que se utiliza de la siguiente forma: la integral de ka, diferencial de equis, es igual a ka por equis, más ce. Donde la ka es cualquier número que no lleve la variable.
En nuestro caso, la ka es el cuatro. Entonces lo multiplicamos por equis y le agregamos la ce.
Y ahora vamos a comprobar el resultado.
Derivamos cuatro equis más ce. La derivada de cuatro equis es cuatro, y la de la ce es cero. Nos vuelve a salir el cuatro del principio. Es así como comprobamos que el resultado es correcto.
Lo importante que tenemos que recordar es: si en el integrando no aparece la variable, es una constante. Para integrarla, la multiplicamos por equis. Y como se trata de una integral indefinida, le agregamos la constante de integración, que es la que siempre acompaña a una integral indefinida.
Propiedades que se aplican
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Integral de una constante Cuando el integrando no contiene a la variable, la integral es esa misma constante multiplicada por la variable. Da igual la pinta que tenga —un entero, una fracción o una raíz—: lo único que decide es que no dependa de la variable.\[\int k\,dx \;=\; kx + C\]
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