Problema 2:
Resuelva la siguiente integral indefinida: \[ \int \frac{dx}{2} \]
Cálculo Integral · Integral indefinida: propiedades básicas
Integral dx sobre 2
Integrar una constante, la regla de la potencia, el factor constante que sale de la integral, la suma de términos y la integral del recíproco.
Tema: Integral indefinida: propiedades básicas
Problema 2 de los 11 de este tema. Lee el enunciado, observa la figura y abre la solución en pantalla completa.
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Paso 1: Reescribir el integrando El diferencial dividido entre 2 se escribe como la constante \( \frac{1}{2} \) multiplicando al diferencial: \[ \int \frac{dx}{2} = \int \frac{1}{2} \, dx \]
Paso 2: Aplicar la integral de una constante \[ \int k \, dx = kx + C \] Aquí \( k = \frac{1}{2} \).
Paso 3: Sustituir el valor de la constante \[ \int \frac{1}{2} \, dx = \frac{1}{2}x + C = \frac{x}{2} + C \]
Paso 4: Comprobar derivando \[ \frac{d}{dx}\left( \frac{x}{2} + C \right) = \frac{1}{2} \]
Respuesta final: \[ \boxed{\int \frac{dx}{2} = \frac{x}{2} + C} \]
La explicación, en palabras
Tenemos la integral de diferencial de equis entre dos.
En esta, antes de integrar, conviene usar una propiedad algebraica: expresarla como un producto, para darle la forma que necesitamos.
Dividir entre dos es lo mismo que multiplicar por un medio. Entonces el integrando es un medio.
Y es así como se observa qué propiedad de integración vamos a usar. Mira el integrando: es un medio, y no depende de la variable equis. Entonces es una constante.
Así que aplicamos la propiedad de la integral de una constante.
En este caso, la ka es un medio. Lo multiplicamos por equis y le agregamos la ce.
¿Y qué aprendizaje nos deja este ejercicio? Que a veces hay que reescribir la integral antes de poder integrarla. Y que una constante disfrazada de fracción sigue siendo constante, porque lo único que importa es que no dependa de la variable. Y no olvidar que al final se agrega la constante de integración.
Propiedades que se aplican
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Expresar como producto Dividir entre un número es lo mismo que multiplicar por su recíproco. Cuando el cociente deja el integrando pegado al diferencial, reescribirlo como producto los separa y deja a la vista cuál es la función que hay que integrar.\[\begin{aligned} &\frac{a}{k} = \frac{1}{k}\,a \\[6pt] &\int \frac{dx}{k} = \int \frac{1}{k}\,dx\end{aligned}\]
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Integral de una constante Cuando el integrando no contiene a la variable, la integral es esa misma constante multiplicada por la variable. Da igual la pinta que tenga —un entero, una fracción o una raíz—: lo único que decide es que no dependa de la variable.\[\int k\,dx \;=\; kx + C\]
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