Problema 15:
Calcule la siguiente integral indefinida, considerando que \(x>0\) e \(y>0\): \[ \int \sqrt{4x^2y^2+4xy^3+y^4}\,dx \]
Cálculo Integral · Integral indefinida: propiedades básicas
Integral de √(4x²y²+4xy³+y⁴) completando cuadrados
Integrar una constante, la regla de la potencia, el factor constante que sale de la integral, la suma de términos y la integral del recíproco.
Tema: Integral indefinida: propiedades básicas
Problema 15 de los 15 de este tema. Lee el enunciado, observa la figura y abre la solución en pantalla completa.
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Paso 1: Identificar la variable de integración El diferencial \( dx \) indica que la variable de trabajo es \( x \). Por tanto, durante todo el procedimiento \( y \) se considera constante.
Paso 2: Analizar el obstáculo del integrando La raíz cuadrada impide aplicar directamente las propiedades básicas de integración. Para eliminarla, buscamos escribir el radicando como el cuadrado perfecto de una expresión.
Paso 3: Extraer el factor común Los tres términos contienen el factor \( 4y^2 \): \[ 4x^2y^2+4xy^3+y^4=4y^2\left(x^2+xy+\frac{y^2}{4}\right) \]
Paso 4: Completar el cuadrado Para una expresión \( x^2+bx \), se toma la mitad del coeficiente de \( x \) y se eleva al cuadrado: \[ x^2+bx=\left(x+\frac{b}{2}\right)^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2 \] Aquí \( b=y \), por lo que la mitad es \( \frac{y}{2} \) y su cuadrado es \( \frac{y^2}{4} \). Ese término ya aparece dentro del paréntesis: \[ x^2+xy+\frac{y^2}{4}=\left(x+\frac{y}{2}\right)^2 \] Entonces, \[ 4y^2\left(x+\frac{y}{2}\right)^2=\left[2y\left(x+\frac{y}{2}\right)\right]^2=(2xy+y^2)^2 \]
Paso 5: Eliminar la raíz cuadrada En general, \( \sqrt{u^2}=|u| \). En este problema, \[ u=2xy+y^2=y(2x+y) \] Como \( x>0 \) e \( y>0 \), se tiene \( u>0 \), así que \( |u|=u \): \[ \sqrt{4x^2y^2+4xy^3+y^4}=2xy+y^2 \]
Paso 6: Integrar respecto de x Ahora se aplican las propiedades básicas. Como \( y \) es constante, \[ \int (2xy+y^2)\,dx=2y\int x\,dx+y^2\int dx \] \[ =2y\left(\frac{x^2}{2}\right)+y^2x+C(y) \] \[ =yx^2+y^2x+C(y) \] La constante se escribe como \( C(y) \) porque, al integrar respecto de \( x \), puede depender de la variable \( y \), que aquí funciona como parámetro.
Respuesta final: \[ \boxed{\int \sqrt{4x^2y^2+4xy^3+y^4}\,dx=yx^2+y^2x+C(y)} \]
La explicación, en palabras
Tenemos la integral de la raíz cuadrada de cuatro equis al cuadrado por ye al cuadrado, más cuatro equis por ye al cubo, más ye a la cuarta.
Antes de operar, fijémonos en el diferencial de equis. Este nos indica que la variable de trabajo es equis; por lo tanto, ye se mantiene constante durante todo el procedimiento.
¿Qué impide aplicar directamente las propiedades básicas de integración? La raíz cuadrada que cubre todo el polinomio.
Nuestro objetivo es eliminar esa raíz. Para lograrlo, lo que está dentro debe convertirse en un cuadrado perfecto. ¿Será posible? Analicémoslo.
Primero extraemos el factor común cuatro ye al cuadrado. Dentro del paréntesis queda equis al cuadrado, más equis por ye, más ye al cuadrado entre cuatro.
Recordemos cómo se completa un cuadrado. En equis al cuadrado más be por equis, tomamos la mitad de be, la elevamos al cuadrado y obtenemos el término que falta.
En nuestro caso, el coeficiente del término lineal es ye. Su mitad es ye entre dos, y el cuadrado de esa mitad es ye al cuadrado entre cuatro.
Ese término ya está presente. Por eso el trinomio es exactamente el cuadrado de equis más ye entre dos.
Al incorporar nuevamente el factor exterior, todo el radicando queda como el cuadrado de dos equis por ye, más ye al cuadrado.
Ahora sí podemos retirar la raíz, pero con cuidado: la raíz cuadrada de un cuadrado es el valor absoluto de la expresión.
Como equis y ye son positivas, dos equis por ye más ye al cuadrado también es positivo. Entonces el valor absoluto no cambia su signo.
La integral se reduce a dos equis por ye, más ye al cuadrado, todo respecto de equis. La raíz ya desapareció.
Separamos la suma. Como ye es constante, sacamos dos ye de la primera integral y ye al cuadrado de la segunda.
La integral de equis es equis al cuadrado entre dos. Al multiplicar por dos ye, obtenemos ye por equis al cuadrado.
La integral del diferencial de equis es equis. Por ello, el segundo término queda ye al cuadrado por equis.
Reunimos ambos términos y colocamos la constante al final. La escribimos como ce de ye porque, al integrar respecto de equis, puede depender del parámetro ye.
La respuesta es ye por equis al cuadrado, más ye al cuadrado por equis, más ce de ye.
Como podemos observar, la clave fue reconocer la variable indicada por el diferencial y completar el cuadrado dentro de la raíz. Al convertir el radicando en un cuadrado perfecto, la integral quedó reducida a propiedades básicas.
Propiedades que se aplican
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Variable de integración y parámetro El diferencial identifica la variable respecto de la cual se integra. Las demás letras se mantienen constantes durante el procedimiento y pueden aparecer en la constante de integración.\[\int f(x,y)\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\text{ variable},\;y\text{ parámetro}\]
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Extraer un factor común Si todos los términos comparten un mismo factor, este puede escribirse una sola vez fuera del paréntesis. Lo que queda dentro se obtiene dividiendo cada término entre él.\[ab+ac+ad=a(b+c+d)\]
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Completar el cuadrado Para convertir un trinomio cuadrático en un cuadrado, se toma la mitad del coeficiente del término lineal y se eleva al cuadrado. Si ese término ya está presente, el trinomio es un cuadrado perfecto.\[x^2+bx+\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(x+\frac{b}{2}\right)^2\]
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Raíz cuadrada de un cuadrado La raíz principal siempre es no negativa, por eso la raíz de un cuadrado produce el valor absoluto de la expresión. Si las condiciones garantizan que esa expresión es positiva, se puede retirar el valor absoluto.\[\sqrt{u^2}=|u| \qquad u>0\;\Longrightarrow\;|u|=u\]
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Integral de una suma Cuando el integrando tiene varios términos separados por sumas o restas, la integral se reparte: se integra cada término por su cuenta y se conservan los signos. Cada una de esas integrales genera su propia constante, y como al sumarlas resulta otra constante, al final se escribe una sola que las representa.\[\int \bigl[f(x) \pm g(x)\bigr]\,dx \;=\; \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx\]
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Constante fuera de la integral Un factor constante puede salir del signo integral y esperar afuera: se integra lo que queda adentro y al final se multiplica. Solo sale lo que no depende de la variable. También es lo que permite usar la sustitución cuando el factor que acompaña no es la derivada exacta, sino un múltiplo de ella.\[\int k\,f(x)\,dx \;=\; k \int f(x)\,dx\]
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Regla de la potencia La integral de una potencia sube el exponente en uno y divide entre ese nuevo exponente. No aplica cuando el exponente es menos uno, porque el denominador se anularía.\[\int u^{n}\,du \;=\; \frac{u^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \neq -1\]
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Integral de una constante Cuando el integrando no contiene a la variable, la integral es esa misma constante multiplicada por la variable. Da igual la pinta que tenga —un entero, una fracción o una raíz—: lo único que decide es que no dependa de la variable.\[\int k\,dx \;=\; kx + C\]
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