Problema 14:
Resuelva la siguiente integral indefinida: \[ \int \left(\sqrt{x}-2\right)^2\,dx \]
Cálculo Integral · Integral indefinida: propiedades básicas
Integral de (√x−2)² paso a paso
Integrar una constante, la regla de la potencia, el factor constante que sale de la integral, la suma de términos y la integral del recíproco.
Tema: Integral indefinida: propiedades básicas
Problema 14 de los 15 de este tema. Lee el enunciado, observa la figura y abre la solución en pantalla completa.
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Paso 1: Identificar la estructura algebraica El integrando es el cuadrado de una diferencia. No se aplica la regla de la potencia directamente a todo el paréntesis, porque su interior no está acompañado por su derivada. Primero se desarrolla el binomio. En números reales se requiere \( x \geq 0 \).
Paso 2: Aplicar el cuadrado de una diferencia La identidad algebraica es \[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \] Con \( a=\sqrt{x} \) y \( b=2 \): \[ \left(\sqrt{x}-2\right)^2=(\sqrt{x})^2-2(\sqrt{x})(2)+2^2 \] \[ =x-4\sqrt{x}+4 \]
Paso 3: Escribir la raíz como potencia Para aplicar la regla de la potencia, se usa \( \sqrt{x}=x^{1/2} \): \[ \int \left(\sqrt{x}-2\right)^2dx=\int \left(x-4x^{1/2}+4\right)dx \]
Paso 4: Separar los términos y extraer la constante La integral de una suma o resta se reparte término a término. El factor constante \( -4 \) sale de la segunda integral: \[ =\int x\,dx-4\int x^{1/2}\,dx+\int 4\,dx \]
Paso 5: Integrar cada término En los dos primeros se aplica la regla de la potencia; el tercero es la integral de una constante: \[ \int x\,dx=\frac{x^2}{2} \] \[ -4\int x^{1/2}\,dx=-4\left(\frac{x^{3/2}}{3/2}\right)=-\frac{8}{3}x^{3/2} \] \[ \int 4\,dx=4x \]
Paso 6: Reunir los términos Las constantes generadas se agrupan en una sola constante de integración al final: \[ \int \left(\sqrt{x}-2\right)^2dx=\frac{x^2}{2}-\frac{8}{3}x^{3/2}+4x+C \]
Respuesta final: \[ \boxed{\int \left(\sqrt{x}-2\right)^2dx=\frac{x^2}{2}-\frac{8}{3}x^{3/2}+4x+C} \]
La explicación, en palabras
Tenemos la integral del cuadrado de raíz de equis menos dos.
¿Conviene aplicar una regla de integración directamente al paréntesis? No. Primero debemos desarrollar el cuadrado de la diferencia.
Usamos la identidad: el primero al cuadrado, menos el doble producto de ambos, más el segundo al cuadrado.
Sustituimos el primer término por raíz de equis y el segundo por dos.
Al simplificar obtenemos equis, menos cuatro raíz de equis, más cuatro.
Para integrar la raíz, la escribimos como equis elevada a un medio.
El integrando queda formado por tres términos: equis, menos cuatro equis elevado a un medio, más cuatro.
Aplicamos la propiedad de la suma y la resta para integrar cada término por separado.
También sacamos el factor constante cuatro de la segunda integral, conservando el signo menos.
En los dos primeros términos usamos la regla de la potencia: aumentamos el exponente en uno y dividimos entre el nuevo exponente.
La integral de equis produce equis al cuadrado entre dos.
Para equis elevado a un medio, el nuevo exponente es tres medios. Dividir entre tres medios equivale a multiplicar por dos tercios.
El último término es constante, por eso la integral de cuatro es cuatro equis.
Multiplicamos menos cuatro por dos tercios y obtenemos menos ocho tercios. Luego reunimos los tres términos.
Las constantes que produce cada integral se agrupan en una sola; por eso ce se escribe únicamente al final.
La respuesta es equis al cuadrado entre dos, menos ocho tercios de equis elevada a tres medios, más cuatro equis, más ce.
Como podemos observar, la clave fue desarrollar primero el cuadrado del binomio. Al simplificarlo, aparecieron tres integrales básicas que resolvimos término a término.
Propiedades que se aplican
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Cuadrado de una diferencia El cuadrado de una diferencia se desarrolla con el cuadrado del primer término, menos el doble producto de ambos, más el cuadrado del segundo. Expandirlo permite trabajar cada término por separado.\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]
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Exponentes negativos y fraccionarios Antes de integrar, el integrando se escribe como una potencia: el recíproco pasa a exponente negativo y la raíz a exponente fraccionario. Al final se deshace ese cambio para dejar la respuesta con raíz o con fracción.\[\begin{aligned} &\frac{1}{u^{n}} = u^{-n} \\[6pt] &\sqrt{u} = u^{1/2} \qquad \sqrt[m]{u^{k}} = u^{k/m}\end{aligned}\]
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Integral de una suma Cuando el integrando tiene varios términos separados por sumas o restas, la integral se reparte: se integra cada término por su cuenta y se conservan los signos. Cada una de esas integrales genera su propia constante, y como al sumarlas resulta otra constante, al final se escribe una sola que las representa.\[\int \bigl[f(x) \pm g(x)\bigr]\,dx \;=\; \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx\]
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Constante fuera de la integral Un factor constante puede salir del signo integral y esperar afuera: se integra lo que queda adentro y al final se multiplica. Solo sale lo que no depende de la variable. También es lo que permite usar la sustitución cuando el factor que acompaña no es la derivada exacta, sino un múltiplo de ella.\[\int k\,f(x)\,dx \;=\; k \int f(x)\,dx\]
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Regla de la potencia La integral de una potencia sube el exponente en uno y divide entre ese nuevo exponente. No aplica cuando el exponente es menos uno, porque el denominador se anularía.\[\int u^{n}\,du \;=\; \frac{u^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \neq -1\]
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Integral de una constante Cuando el integrando no contiene a la variable, la integral es esa misma constante multiplicada por la variable. Da igual la pinta que tenga —un entero, una fracción o una raíz—: lo único que decide es que no dependa de la variable.\[\int k\,dx \;=\; kx + C\]
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