Problema 12:
Resuelva la siguiente integral indefinida: \[ \int \frac{xe^{x} + 2}{x} \, dx \]
Cálculo Integral · Integral indefinida: propiedades básicas
Integral de (x·eˣ+2)/x paso a paso
Integrar una constante, la regla de la potencia, el factor constante que sale de la integral, la suma de términos y la integral del recíproco.
Tema: Integral indefinida: propiedades básicas
Problema 12 de los 12 de este tema. Lee el enunciado, observa la figura y abre la solución en pantalla completa.
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Paso 1: Establecer el dominio y repartir el cociente El integrando solo está definido cuando \( x \neq 0 \). Como el denominador es un solo término, se divide cada término del numerador entre \( x \): \[ \frac{xe^{x} + 2}{x} = \frac{xe^{x}}{x} + \frac{2}{x} \]
Paso 2: Simplificar el integrando En el primer cociente se cancela el factor \( x \), pues estamos trabajando con \( x \neq 0 \): \[ \frac{xe^{x}}{x} = e^{x} \] Por tanto, \[ \int \frac{xe^{x} + 2}{x} \, dx = \int \left(e^{x} + \frac{2}{x}\right) dx \]
Paso 3: Separar la integral La integral de una suma se reparte término a término: \[ = \int e^{x} \, dx + \int \frac{2}{x} \, dx \]
Paso 4: Integrar la función exponencial La función exponencial \( e^{x} \) es su propia antiderivada: \[ \int e^{x} \, dx = e^{x} \]
Paso 5: Integrar el término recíproco Primero se extrae la constante 2: \[ \int \frac{2}{x} \, dx = 2\int \frac{1}{x} \, dx \] La integral del recíproco es el logaritmo natural del valor absoluto: \[ 2\int \frac{1}{x} \, dx = 2\ln|x| \]
Paso 6: Reunir los resultados \[ \int \frac{xe^{x} + 2}{x} \, dx = e^{x} + 2\ln|x| + C, \qquad x \neq 0 \]
Respuesta final: \[ \boxed{\int \frac{xe^{x} + 2}{x} \, dx = e^{x} + 2\ln|x| + C}, \qquad x \neq 0 \]
La explicación, en palabras
Tenemos la siguiente integral: equis por e elevado a la equis, más dos; todo dividido entre equis.
Tal como está escrito, el integrando no coincide con una regla básica. Primero debemos transformarlo.
Usamos una propiedad de las fracciones: si el numerador contiene una suma, cada término puede dividirse entre el mismo denominador.
Así obtenemos equis por e elevado a la equis entre equis, más dos entre equis.
Como equis es distinto de cero, cancelamos el factor que aparece arriba y abajo. El primer cociente queda como e elevado a la equis.
Ahora aparece una suma. Aplicamos su propiedad para trabajar cada término por separado.
La expresión queda dividida en la integral de e elevado a la equis, más la de dos entre equis.
Para la primera usamos la regla exponencial: e elevado a la equis es su propia antiderivada.
En el segundo término, el dos es constante y puede salir del signo integral.
Al extraerlo queda dos multiplicado por la integral de uno entre equis.
Ahora resolvemos la integral de uno entre equis. Su antiderivada es el logaritmo natural del valor absoluto de equis. ¿Por qué colocamos el valor absoluto? Porque el argumento de un logaritmo debe ser positivo; no puede ser negativo ni cero. Como equis es distinta de cero, el valor absoluto garantiza esa condición tanto si equis es positiva como si es negativa.
Reemplazamos ambas integrales por los valores obtenidos.
Las constantes que genera cada término se reúnen en una sola, por eso ce se escribe únicamente al final.
La respuesta es e elevado a la equis, más dos por el logaritmo natural del valor absoluto de equis, más ce; con equis distinto de cero.
Como podemos observar, la clave del ejercicio fue transformar el integrando. Al separar la fracción mediante una propiedad conocida y simplificar el primer término, obtuvimos dos integrales básicas que pudimos resolver directamente.
Propiedades que se aplican
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Repartir el cociente término a término Cuando el numerador tiene varios términos y el denominador es uno solo, el cociente se reparte: cada término del numerador se divide entre ese denominador. Si los dos son potencias de la misma base, la división se resuelve restando los exponentes. Es el paso previo que convierte una fracción en una suma de términos que ya se saben integrar.\[\begin{aligned} &\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} \\[6pt] &\frac{x^{m}}{x^{n}} = x^{\,m-n}\end{aligned}\]
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Integral de una suma Cuando el integrando tiene varios términos separados por sumas o restas, la integral se reparte: se integra cada término por su cuenta y se conservan los signos. Cada una de esas integrales genera su propia constante, y como al sumarlas resulta otra constante, al final se escribe una sola que las representa.\[\int \bigl[f(x) \pm g(x)\bigr]\,dx \;=\; \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx\]
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Integral de la exponencial La función exponencial es su propia integral, igual que es su propia derivada. Si el exponente lleva un coeficiente, al integrar hay que dividir entre ese coeficiente.\[\begin{aligned} &\int e^{u}\,du = e^{u} + C \\[6pt] &\int e^{ax}\,dx = \frac{e^{ax}}{a} + C\end{aligned}\]
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Constante fuera de la integral Un factor constante puede salir del signo integral y esperar afuera: se integra lo que queda adentro y al final se multiplica. Solo sale lo que no depende de la variable. También es lo que permite usar la sustitución cuando el factor que acompaña no es la derivada exacta, sino un múltiplo de ella.\[\int k\,f(x)\,dx \;=\; k \int f(x)\,dx\]
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Integral del recíproco La integral del recíproco es el logaritmo natural del valor absoluto. Es el único caso que la regla de la potencia no cubre.\[\int \frac{du}{u} \;=\; \ln|u| + C\]
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