Problema 11:
Resuelva la siguiente integral indefinida: \[ \int \frac{x^{4} - x^{2} + 1}{x} \, dx \]
Cálculo Integral · Integral indefinida: propiedades básicas
Integral x4 x2 1 x
Integrar una constante, la regla de la potencia, el factor constante que sale de la integral, la suma de términos y la integral del recíproco.
Tema: Integral indefinida: propiedades básicas
Problema 11 de los 11 de este tema. Lee el enunciado, observa la figura y abre la solución en pantalla completa.
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Paso 1: Observar que el integrando es un cociente Ninguna propiedad básica integra una fracción tal como está. Como el denominador es un solo término, el cociente se reparte: cada término del numerador se divide entre \( x \). \[ \frac{x^{4} - x^{2} + 1}{x} = \frac{x^{4}}{x} - \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} \]
Paso 2: Simplificar cada cociente de potencias Al dividir potencias de la misma base se restan los exponentes: \[ \frac{x^{4}}{x} = x^{3} \qquad \frac{x^{2}}{x} = x \] \[ \int \frac{x^{4} - x^{2} + 1}{x} \, dx = \int \left( x^{3} - x + \frac{1}{x} \right) dx \]
Paso 3: Separar la integral en sus términos La integral de una suma o de una resta se reparte término a término, conservando los signos: \[ = \int x^{3} \, dx - \int x \, dx + \int \frac{1}{x} \, dx \]
Paso 4: Integrar las dos potencias La regla de la potencia sube el exponente en uno y divide entre ese nuevo exponente: \[ \int x^{3} \, dx = \frac{x^{4}}{4} \qquad \int x \, dx = \frac{x^{2}}{2} \]
Paso 5: Integrar el recíproco La regla de la potencia pide \( n \neq -1 \), y \( \frac{1}{x} = x^{-1} \) es justamente el caso excluido: al sumar uno al exponente, el denominador se anularía. Esa integral es el logaritmo natural del valor absoluto: \[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C \]
Paso 6: Reunir los tres resultados Las tres integrales generan su propia constante, y al sumarlas resulta otra constante, que se escribe simplemente \( C \): \[ \int \frac{x^{4} - x^{2} + 1}{x} \, dx = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2} + \ln|x| + C \]
Paso 7: Comprobar derivando \[ \frac{d}{dx}\left( \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2} + \ln|x| + C \right) = x^{3} - x + \frac{1}{x} \] Escribiendo esos tres términos con denominador común \( x \) se recupera el integrando.
Respuesta final: \[ \boxed{\int \frac{x^{4} - x^{2} + 1}{x} \, dx = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2} + \ln|x| + C} \]
La explicación, en palabras
Tenemos la integral de una fracción: equis a la cuarta, menos equis al cuadrado, más uno, todo entre equis.
¿Y qué propiedad integra una fracción así, tal como está? Ninguna. Antes de integrar hay que arreglar el integrando.
Y el que nos abre la puerta es el denominador: es un solo término, una sola equis. Cuando abajo hay un solo término, el cociente se reparte, y cada término de arriba se divide entre el de abajo.
Ahora simplificamos, y al dividir potencias de la misma base los exponentes se restan. Cuatro menos uno, tres. Dos menos uno, uno. Y el último se queda como está, uno entre equis, porque arriba no hay ninguna potencia de equis que restar.
Miren lo que conseguimos: ya no hay fracción, sino tres términos que se suman y se restan. Y para eso sí tenemos propiedad.
La integral de la suma es la suma de las integrales, y si en vez de una suma hay una resta se separa igual, respetando el signo.
Separamos entonces: la integral de equis al cubo, menos la integral de equis, más la integral de uno entre equis.
Los dos primeros son potencias, así que les toca la regla de la potencia.
En el primero el exponente sube de tres a cuatro, y dividimos entre cuatro.
En el segundo, equis tiene exponente uno aunque no se escriba: sube a dos, y dividimos entre dos. El signo menos se conserva.
Nos falta uno entre equis, que es equis elevada a menos uno. Y ojo aquí, porque miren la condición de la regla: el exponente no puede ser menos uno. Si lo fuera, al sumarle uno el denominador quedaría en cero.
Ese caso, el único que la regla de la potencia deja fuera, tiene su propia propiedad: la integral de uno entre equis es el logaritmo natural del valor absoluto de equis. En valor absoluto, porque el logaritmo solo existe para valores positivos y la equis de abajo bien puede ser negativa.
Juntamos los tres resultados, con una sola constante al final: cada integral genera la suya, pero al sumarse forman otra constante, y esa es la que escribimos.
Y para que no se les olvide: cuando el integrando es una fracción y abajo hay un solo término, se reparte y se simplifica primero, y recién entonces se integra. Y si al repartir aparece uno entre equis, ese término no sigue la regla de la potencia: su integral es el logaritmo natural.
Propiedades que se aplican
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Repartir el cociente término a término Cuando el numerador tiene varios términos y el denominador es uno solo, el cociente se reparte: cada término del numerador se divide entre ese denominador. Si los dos son potencias de la misma base, la división se resuelve restando los exponentes. Es el paso previo que convierte una fracción en una suma de términos que ya se saben integrar.\[\begin{aligned} &\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} \\[6pt] &\frac{x^{m}}{x^{n}} = x^{\,m-n}\end{aligned}\]
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Integral de una suma Cuando el integrando tiene varios términos separados por sumas o restas, la integral se reparte: se integra cada término por su cuenta y se conservan los signos. Cada una de esas integrales genera su propia constante, y como al sumarlas resulta otra constante, al final se escribe una sola que las representa.\[\int \bigl[f(x) \pm g(x)\bigr]\,dx \;=\; \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx\]
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Regla de la potencia La integral de una potencia sube el exponente en uno y divide entre ese nuevo exponente. No aplica cuando el exponente es menos uno, porque el denominador se anularía.\[\int u^{n}\,du \;=\; \frac{u^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \neq -1\]
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Integral del recíproco La integral del recíproco es el logaritmo natural del valor absoluto. Es el único caso que la regla de la potencia no cubre.\[\int \frac{du}{u} \;=\; \ln|u| + C\]
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