Problema 10:
Resuelva la siguiente integral indefinida: \[ \int (6x^{2} + 2x + 7) \, dx \]
Cálculo Integral · Integral indefinida: propiedades básicas
Integral 6x2 2x 7
Integrar una constante, la regla de la potencia, el factor constante que sale de la integral, la suma de términos y la integral del recíproco.
Tema: Integral indefinida: propiedades básicas
Problema 10 de los 11 de este tema. Lee el enunciado, observa la figura y abre la solución en pantalla completa.
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Paso 1: Contar los términos del integrando La suma y la resta son las que separan los términos: aquí hay dos signos más, de modo que \( 6x^{2} + 2x + 7 \) tiene tres términos.
Paso 2: Observar que la propiedad está enunciada para dos funciones La integral de una suma se enuncia con dos funciones, \( f \) y \( g \): \[ \int \bigl[ f(x) \pm g(x) \bigr] \, dx = \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx \] Con tres términos se agrupan dos de ellos y el grupo se toma como una sola función: \[ \int (6x^{2} + 2x + 7) \, dx = \int \bigl[ (6x^{2} + 2x) + 7 \bigr] \, dx \]
Paso 3: Aplicar la propiedad por primera vez \[ = \int (6x^{2} + 2x) \, dx + \int 7 \, dx \]
Paso 4: Aplicar la misma propiedad al grupo El primer sumando vuelve a tener dos términos, así que se separa otra vez. Es por ello que la integral queda repartida en tres: \[ = \int 6x^{2} \, dx + \int 2x \, dx + \int 7 \, dx \]
Paso 5: Integrar cada término En los dos primeros hay una constante multiplicando a una función que depende de \( x \): se extrae la constante y a la potencia se le aplica la regla de la potencia. El tercero es la integral de una constante: \[ = 6 \cdot \frac{x^{3}}{3} + 2 \cdot \frac{x^{2}}{2} + 7x \]
Paso 6: Simplificar y agregar la constante de integración \[ 6 \cdot \frac{x^{3}}{3} = 2x^{3} \qquad 2 \cdot \frac{x^{2}}{2} = x^{2} \] Cada una de las tres integrales genera su propia constante, y al sumarlas se obtiene otra constante, que se escribe simplemente \( C \): \[ C_{1} + C_{2} + C_{3} = C \]
Respuesta final: \[ \boxed{\int (6x^{2} + 2x + 7) \, dx = 2x^{3} + x^{2} + 7x + C} \]
La explicación, en palabras
Tenemos una integral con tres términos.
Y recuerden que la suma o la resta es lo que separa los términos. Aquí hay dos signos más, así que son tres: seis equis al cuadrado, dos equis, y siete.
Así como está presentada, no tenemos una propiedad que resuelva esta integral. Tenemos que separar cada término con su propia integral, y para eso usamos la misma propiedad de siempre.
Pero fíjense bien en cómo está enunciada: habla de dos funciones, efe y ge. Solo dos. Y nuestro integrando tiene tres términos.
¿Entonces qué hacemos? Agrupamos. Tomamos los dos primeros términos como si fueran una sola función, y el siete queda como la otra. Así ya tenemos las dos funciones que la propiedad nos pide.
Ahora sí aplicamos la propiedad: la integral del grupo, más la integral de siete.
Y observen el primer sumando: adentro volvemos a tener dos términos. Entonces aplicamos otra vez la misma propiedad, sobre ese grupo.
Es por ello que la integral nos queda separada en tres, una por cada término. La propiedad se aplica tantas veces como haga falta.
Vamos a integrar cada una. En la primera tenemos una constante multiplicando a una función que depende de equis: extraemos el seis, y a la potencia le aplicamos la regla de la potencia. El exponente sube de dos a tres, y dividimos entre ese tres.
En la segunda hacemos lo mismo: extraemos el dos, el exponente sube de uno a dos, y dividimos entre ese dos.
Y la tercera es la integral de una constante: el siete se multiplica por equis.
Ahora simplificamos. Seis entre tres es dos, así que el primer término es dos equis al cubo. Y dos entre dos es uno, así que el segundo queda como equis al cuadrado.
Y aquí va una sola constante. Tengan presente que cada una de las tres integrales genera la suya, pero al sumarse las tres se forma otra constante, y esa es la que escribimos al final.
Ese es el resultado: dos equis al cubo, más equis al cuadrado, más siete equis, más ce.
Y antes de terminar, piensen en esto: ¿qué pasaría si en vez de tres términos hubiera cuatro, o cinco? El procedimiento no cambia. Se agrupan de dos en dos y se aplica la propiedad tantas veces como haga falta, hasta que cada término tenga su propia integral. Después se integra uno por uno, cada cual con la propiedad que le corresponda, y al final se coloca una sola constante que las representa a todas.
Propiedades que se aplican
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Integral de una suma Cuando el integrando tiene varios términos separados por sumas o restas, la integral se reparte: se integra cada término por su cuenta y se conservan los signos. Cada una de esas integrales genera su propia constante, y como al sumarlas resulta otra constante, al final se escribe una sola que las representa.\[\int \bigl[f(x) \pm g(x)\bigr]\,dx \;=\; \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx\]
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Constante fuera de la integral Un factor constante puede salir del signo integral y esperar afuera: se integra lo que queda adentro y al final se multiplica. Solo sale lo que no depende de la variable. También es lo que permite usar la sustitución cuando el factor que acompaña no es la derivada exacta, sino un múltiplo de ella.\[\int k\,f(x)\,dx \;=\; k \int f(x)\,dx\]
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Regla de la potencia La integral de una potencia sube el exponente en uno y divide entre ese nuevo exponente. No aplica cuando el exponente es menos uno, porque el denominador se anularía.\[\int u^{n}\,du \;=\; \frac{u^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \neq -1\]
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Integral de una constante Cuando el integrando no contiene a la variable, la integral es esa misma constante multiplicada por la variable. Da igual la pinta que tenga —un entero, una fracción o una raíz—: lo único que decide es que no dependa de la variable.\[\int k\,dx \;=\; kx + C\]
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