Problema 1:
Resolver la siguiente integral: \[ \int \frac{1}{(1+x)^{3/2}} \, dx \]
Cálculo Integral · Integral indefinida: método de sustitución
Integral de 1/(1+x)^(3/2) por sustitución
Cambio de variable: reconocer la función y su derivada dentro de la integral.
Tema: Integral indefinida: método de sustitución
Problema 1 de los 3 de este tema. Lee el enunciado, observa la figura y abre la solución en pantalla completa.
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Problema: Resolver la integral \( \int \frac{1}{(1+x)^{3/2}} \, dx \)
Paso 1: Identificar el método apropiado Observamos que la integral contiene la expresión \( (1+x) \) elevada a una potencia. Para simplificar, utilizaremos el método de sustitución.
Paso 2: Realizar la sustitución Sea \( u = 1 + x \)
Derivando respecto a \( x \): \[ \frac{du}{dx} = 1 \quad \Rightarrow \quad du = dx \]
Paso 3: Reescribir la integral en términos de \( u \) Sustituyendo \( u = 1 + x \) y \( dx = du \) en la integral original: \[ \int \frac{1}{(1+x)^{3/2}} \, dx = \int \frac{1}{u^{3/2}} \, du \]
Reescribimos el integrando usando notación exponencial: \[ \int \frac{1}{u^{3/2}} \, du = \int u^{-3/2} \, du \]
Paso 4: Aplicar la regla de la potencia para integración Recordamos que \( \int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \) para \( n \neq -1 \)
En nuestro caso, \( n = -\frac{3}{2} \), entonces: \[ \int u^{-3/2} \, du = \frac{u^{-3/2 + 1}}{-3/2 + 1} + C \]
Paso 5: Simplificar el exponente y el denominador Calculamos: \[ -\frac{3}{2} + 1 = -\frac{3}{2} + \frac{2}{2} = -\frac{1}{2} \]
Por lo tanto: \[ \int u^{-3/2} \, du = \frac{u^{-1/2}}{-1/2} + C \]
Paso 6: Simplificar la fracción Dividir entre \( -\frac{1}{2} \) equivale a multiplicar por \( -2 \): \[ \frac{u^{-1/2}}{-1/2} = -2 \cdot u^{-1/2} = -2u^{-1/2} \]
Reescribimos usando raíz cuadrada: \[ -2u^{-1/2} = -\frac{2}{u^{1/2}} = -\frac{2}{\sqrt{u}} \]
Paso 7: Regresar a la variable original Sustituimos \( u = 1 + x \) para expresar el resultado en términos de \( x \): \[ -\frac{2}{\sqrt{u}} + C = -\frac{2}{\sqrt{1+x}} + C \]
Respuesta final: \[ \boxed{\int \frac{1}{(1+x)^{3/2}} \, dx = -\frac{2}{\sqrt{1+x}} + C} \]
Donde \( C \) es la constante de integración.
La explicación, en palabras
Observemos con atención la estructura de esta integral.
En el denominador aparece uno más equis, elevado a tres medios. Ese exponente fraccionario impide aplicar de forma directa una propiedad básica de integración.
El método adecuado es el cambio de variable. Consiste en asignar un nombre nuevo a una parte de la integral, con el fin de transformarla en una expresión que sí sepamos integrar.
La pregunta es a qué parte le asignamos ese nombre. Se lo asignamos a la base de la potencia, es decir, a uno más equis. La llamamos u.
Definimos entonces que u es igual a uno más equis.
Conviene precisar un requisito del método. El cambio de variable exige que la integral quede expresada en su totalidad en términos de la nueva variable. No debe permanecer ninguna equis en la expresión, ni siquiera en el diferencial.
Por ese motivo derivamos. La derivada de u respecto de equis es igual a uno. De ello se obtiene que el diferencial de u es igual al diferencial de equis.
Realizada esa sustitución, la integral queda escrita íntegramente en términos de u.
A continuación aplicamos una propiedad de los exponentes. Cuando una potencia se encuentra en el denominador, puede pasar al numerador cambiando el signo de su exponente.
Al aplicarla, uno sobre u elevado a tres medios se transforma en u elevado a menos tres medios.
Observemos por qué esto nos conviene. La integral quedó expresada como una sola potencia de u.
Esa expresión corresponde a la regla de la potencia. Establece que la integral de u elevado a la ene, respecto de u, es igual a u elevado a la ene más uno, dividido entre ene más uno, más la constante de integración C. La condición es que ene sea distinto de menos uno.
En este caso ene vale menos tres medios, de modo que la condición se cumple.
Para sumar uno a un exponente fraccionario existe un procedimiento práctico. No es necesario buscar denominador común. Basta con sumar el numerador con el denominador, y conservar el mismo denominador.
Conviene atender al signo. Si el exponente es negativo, ese signo corresponde al numerador. Aquí el numerador es menos tres y el denominador es dos.
Efectuamos la suma. Menos tres más dos es igual a menos uno. El denominador se conserva en dos. Por lo tanto, el nuevo exponente es menos un medio.
Observemos ahora un detalle del procedimiento. Ese resultado se escribe dos veces. En el numerador, como exponente de u. Y en el denominador, dividiendo.
La expresión queda de la siguiente manera: u elevado a menos un medio, dividido entre menos un medio. De ahí se obtiene la respuesta.
Una vez integrado, se regresa a la variable original. Se reemplaza u por uno más equis, de modo que el resultado quede expresado en la variable del enunciado.
Lo importante que hay que recordar es esto: el cambio de variable no resuelve la integral por sí mismo. Lo que hace es transformarla, hasta dejarla escrita por completo en la nueva variable, en una forma donde ya se puede aplicar una propiedad básica de integración.
Propiedades que se aplican
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Cambio de variable Si dentro de la integral aparece una función y también su derivada, se le da nombre de variable nueva a esa función y toda la integral se reescribe en esa variable.\[\begin{aligned} &u = g(x) \;\Longrightarrow\; du = g'(x)\,dx \\[6pt] &\int f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du\end{aligned}\]
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Exponentes negativos y fraccionarios Antes de integrar, el integrando se escribe como una potencia: el recíproco pasa a exponente negativo y la raíz a exponente fraccionario. Al final se deshace ese cambio para dejar la respuesta con raíz o con fracción.\[\begin{aligned} &\frac{1}{u^{n}} = u^{-n} \\[6pt] &\sqrt{u} = u^{1/2} \qquad \sqrt[m]{u^{k}} = u^{k/m}\end{aligned}\]
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Regla de la potencia La integral de una potencia sube el exponente en uno y divide entre ese nuevo exponente. No aplica cuando el exponente es menos uno, porque el denominador se anularía.\[\int u^{n}\,du \;=\; \frac{u^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \neq -1\]
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