Problema 2:
Resuelva la siguiente integral indefinida: $$\int (2x+1)(x^2+x+5)^6\,dx$$
Cálculo Integral · Integral indefinida: método de sustitución
Integral de (2x+1)(x²+x+5)⁶ por sustitución
Cambio de variable: reconocer la función y su derivada dentro de la integral.
Tema: Integral indefinida: método de sustitución
Problema 2 de los 3 de este tema. Lee el enunciado, observa la figura y abre la solución en pantalla completa.
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Paso 1: Plantear la integral a resolver. \[\int (2x+1)(x^2+x+5)^6\,dx\]
Paso 2: Derivar el contenido de la potencia para verificar el criterio de sustitución. \[\frac{d}{dx}(x^2+x+5)=2x+1\]
Paso 3: Describir la coincidencia de forma natural. Al derivar \(x^2+x+5\) obtenemos \(2x+1\), que coincide exactamente con el factor que multiplica a la potencia. En esta situación conviene usar sustitución tomando \(u=x^2+x+5\).
Paso 4: Realizar la sustitución. Sea \(u=x^2+x+5\). Entonces \(du=(2x+1)\,dx\) y la integral se transforma en \[\int (2x+1)(x^2+x+5)^6\,dx=\int u^6\,du.\]
Paso 5: Integrar en la variable \(u\). \[\int u^6\,du=\frac{u^7}{7}+C.\]
Paso 6: Deshacer la sustitución y volver a \(x\). \[\frac{(x^2+x+5)^7}{7}+C.\]
Paso 7: Presentar la respuesta final. \[\boxed{\int (2x+1)(x^2+x+5)^6\,dx=\tfrac{1}{7}\,(x^2+x+5)^7+C}\]
La explicación, en palabras
Observemos la estructura de esta integral.
Tenemos un producto de dos factores. Uno es un polinomio elevado a la sexta potencia, y el otro es un polinomio de primer grado.
Desarrollar esa potencia sería un trabajo extenso. Antes de intentarlo, conviene examinar si los dos factores guardan alguna relación entre sí.
La sospecha es la siguiente. Que el factor de primer grado sea la derivada de la base de la potencia. Para comprobarlo, derivamos esa base.
Derivamos término a término. La derivada de equis al cuadrado es dos equis. La derivada de equis es uno. Y la derivada de cinco, por ser una constante, es cero.
El resultado es dos equis más uno, que coincide exactamente con el factor que acompaña a la potencia. Se cumple el criterio, de modo que el cambio de variable es el método adecuado.
Aplicamos entonces el cambio de variable.
Llamamos u a la base de la potencia, es decir, a equis al cuadrado más equis más cinco.
Al derivar, obtenemos que el diferencial de u es igual a dos equis más uno, multiplicado por el diferencial de equis. Observemos que ese producto es precisamente lo que aparece en la integral.
Sustituimos. El factor dos equis más uno junto con el diferencial de equis forman el diferencial de u, y la potencia queda como u elevado a la sexta.
La integral quedó expresada por completo en la nueva variable, y ahora sí corresponde a una forma conocida.
Aplicamos la regla de la potencia. Establece que la integral de u elevado a la ene, respecto de u, es igual a u elevado a la ene más uno, dividido entre ene más uno, más la constante de integración C.
En nuestro caso el exponente es seis, distinto de menos uno, de modo que la regla es aplicable.
Al sumar uno al exponente obtenemos siete. Ese siete aparece dos veces. Como exponente de u, y como divisor.
Finalmente regresamos a la variable original, reemplazando u por equis al cuadrado más equis más cinco.
Conviene retener el procedimiento. Ante un producto en el que uno de los factores se parece a la derivada del otro, primero se deriva para comprobarlo, y recién entonces se aplica el cambio de variable.
Propiedades que se aplican
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Derivada de un polinomio La derivada se calcula término a término: cada potencia baja su exponente en uno y queda multiplicada por él, y la constante desaparece. Es lo que permite comprobar si el factor que acompaña a la potencia es la derivada de su base.\[\begin{aligned} &\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr) = n\,x^{\,n-1} \\[6pt] &\frac{d}{dx}\bigl(f + g\bigr) = f' + g' \qquad \frac{d}{dx}(c) = 0\end{aligned}\]
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Cambio de variable Si dentro de la integral aparece una función y también su derivada, se le da nombre de variable nueva a esa función y toda la integral se reescribe en esa variable.\[\begin{aligned} &u = g(x) \;\Longrightarrow\; du = g'(x)\,dx \\[6pt] &\int f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du\end{aligned}\]
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Regla de la potencia La integral de una potencia sube el exponente en uno y divide entre ese nuevo exponente. No aplica cuando el exponente es menos uno, porque el denominador se anularía.\[\int u^{n}\,du \;=\; \frac{u^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \neq -1\]
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