Problema 3:
Resuelva la siguiente integral indefinida: $$\int 4x\sin(x^2-4)\,dx$$
Cálculo Integral · Integral indefinida: método de sustitución
Integral de 4x·sen(x²−4) por sustitución
Cambio de variable: reconocer la función y su derivada dentro de la integral.
Tema: Integral indefinida: método de sustitución
Problema 3 de los 3 de este tema. Lee el enunciado, observa la figura y abre la solución en pantalla completa.
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Paso 1: Plantear la integral a resolver. \[\int 4x\sin(x^2-4)\,dx\]
Paso 2: Derivar el argumento del seno para verificar el criterio de sustitución. \[\frac{d}{dx}(x^2-4)=2x\]
Paso 3: Describir la coincidencia de forma natural. Al derivar \(x^2-4\) obtenemos \(2x\), que es proporcional al factor \(4x\) que acompaña al seno. En esta situación conviene usar sustitución tomando \(u=x^2-4\).
Paso 4: Usar artificio algebraico para que el factor \(x\) quede cercano a \(dx\). \[\int 4x\sin(x^2-4)\,dx = 2\int \sin(x^2-4)\cdot 2x\,dx\]
Paso 5: Realizar la sustitución. Sea \(u=x^2-4\). Entonces \(du=2x\,dx\) y la integral se transforma en \[2\int \sin(x^2-4)\cdot 2x\,dx=2\int \underbrace{\sin(x^2-4)}_{\sin(u)}\cdot\underbrace{2x\,dx}_{du}=2\int \sin(u)\,du\]
Paso 6: Integrar en la variable \(u\). \[2\int \sin(u)\,du=2\left(-\cos(u)+C_1\right)=-2\cos(u)+2C_1\]
Paso 7: Justificar por qué la constante sigue siendo \(C\). Al multiplicar por \(2\) también se multiplica la constante de integración, y aparece \(2C_1\). Pero \(C_1\) representa un número arbitrario, y el doble de un número arbitrario sigue siendo un número arbitrario: no aporta ninguna información nueva. Por eso se la vuelve a nombrar \(C\). \[-2\cos(u)+2C_1=-2\cos(u)+C\]
Paso 8: Deshacer la sustitución y volver a \(x\). \[-2\cos(x^2-4)+C\]
Paso 9: Presentar la respuesta final. \[\boxed{\int 4x\sin(x^2-4)\,dx=-2\cos(x^2-4)+C}\]
La explicación, en palabras
Observemos la estructura de esta integral.
El integrando está formado por dos factores: cuatro equis, y el seno de equis al cuadrado menos cuatro. Las propiedades básicas de integración no se aplican a un producto como este. Necesitamos convertirlo en un solo factor para que se parezca a una integral básica.
Para lograrlo hay que elegir un método, y antes de aplicarlo conviene comprobar si el integrando cumple su criterio. El del método de sustitución es este: que uno de los factores sea, salvo una constante, la derivada del argumento del otro.
Derivamos entonces el argumento del seno. La derivada de equis al cuadrado menos cuatro es dos equis.
Aquí aparece una diferencia respecto del caso anterior. La derivada es dos equis, mientras que el factor de la integral es cuatro equis. No son iguales, pero sí proporcionales. Cuatro equis es dos veces dos equis.
Esa proporcionalidad no impide el método. Basta con adaptar la constante.
Escribimos cuatro equis como dos multiplicado por dos equis, y el dos lo colocamos fuera de la integral. Recordemos que un factor constante puede salir del signo integral.
De ese modo, junto al diferencial de equis queda exactamente dos equis, que es la derivada del argumento.
Aplicamos ahora el cambio de variable.
Llamamos u al argumento del seno, es decir, a equis al cuadrado menos cuatro.
Al derivar, el diferencial de u resulta igual a dos equis por el diferencial de equis, que es justamente lo que habíamos preparado.
La integral queda expresada por completo en la nueva variable, con el dos multiplicando a la integral.
Aplicamos la integral del seno. La integral del seno de u, respecto de u, es menos coseno de u, más la constante de integración.
Cuidado con el signo. El negativo aparece solo al integrar el seno. Al integrar el coseno no aparece.
Multiplicamos por el dos que habíamos dejado fuera y obtenemos menos dos coseno de u.
Detengámonos un momento en la constante, porque aquí suele aparecer una duda. Si multiplicamos por dos, también se multiplica la constante, y tendríamos dos C. Pero C representa un número cualquiera, y el doble de un número cualquiera sigue siendo un número cualquiera. Por eso volvemos a escribir simplemente C.
Finalmente regresamos a la variable original, reemplazando u por equis al cuadrado menos cuatro.
Lo importante que hay que recordar es esto: cuando el factor que acompaña no es la derivada exacta, sino un múltiplo de ella, se adapta la constante y el método sigue siendo válido.
Propiedades que se aplican
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Derivada de un polinomio La derivada se calcula término a término: cada potencia baja su exponente en uno y queda multiplicada por él, y la constante desaparece. Es lo que permite comprobar si el factor que acompaña a la potencia es la derivada de su base.\[\begin{aligned} &\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr) = n\,x^{\,n-1} \\[6pt] &\frac{d}{dx}\bigl(f + g\bigr) = f' + g' \qquad \frac{d}{dx}(c) = 0\end{aligned}\]
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Constante fuera de la integral Un factor constante puede salir del signo integral y esperar afuera. Es lo que permite usar la sustitución cuando el factor que acompaña no es la derivada exacta, sino un múltiplo de ella: se ajusta la constante y el método sigue siendo válido.\[\int k\,f(x)\,dx \;=\; k \int f(x)\,dx\]
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Cambio de variable Si dentro de la integral aparece una función y también su derivada, se le da nombre de variable nueva a esa función y toda la integral se reescribe en esa variable.\[\begin{aligned} &u = g(x) \;\Longrightarrow\; du = g'(x)\,dx \\[6pt] &\int f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du\end{aligned}\]
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Seno y coseno Al integrar el seno aparece el coseno con signo negativo; al integrar el coseno aparece el seno sin cambio de signo.\[\begin{aligned} \int \operatorname{sen} u\,du &= -\cos u + C \\[6pt] \int \cos u\,du &= \operatorname{sen} u + C\end{aligned}\]
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