Problema 16:
Calcule la siguiente integral indefinida: \[ \int \frac{\operatorname{sen}^{2}x}{1+\cos x}\,dx \]
Cálculo Integral · Integral indefinida: propiedades básicas
Integral de sen²(x)/(1+cos x) usando el conjugado
Integrar una constante, la regla de la potencia, el factor constante que sale de la integral, la suma de términos y la integral del recíproco.
Tema: Integral indefinida: propiedades básicas
Problema 16 de los 18 de este tema. Lee el enunciado, observa la figura y abre la solución en pantalla completa.
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Paso 1: Analizar la forma del integrando El denominador \(1+\cos x\) es un binomio. Mientras permanezca así, no se puede cancelar directamente con el numerador \(\operatorname{sen}^{2}x\). Conviene transformarlo en un solo término que pueda relacionarse con el seno.
Paso 2: Elegir y aplicar el conjugado El conjugado de \(1+\cos x\) es \(1-\cos x\). Multiplicamos numerador y denominador por ese mismo factor; de este modo multiplicamos la fracción por \(1\) y no cambiamos su valor donde el factor es distinto de cero: \[ \frac{\operatorname{sen}^{2}x}{1+\cos x} \cdot\frac{1-\cos x}{1-\cos x} =\frac{\operatorname{sen}^{2}x(1-\cos x)}{(1+\cos x)(1-\cos x)}. \]
¿Por qué conviene el conjugado? Porque el producto de una suma por su diferencia elimina los términos centrales y produce una diferencia de cuadrados: \[ (1+\cos x)(1-\cos x)=1-\cos^{2}x. \]
Paso 3: Usar la identidad trigonométrica pitagórica La identidad fundamental establece que \[ \operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x=1. \] Al despejar \(\operatorname{sen}^{2}x\), obtenemos \[ 1-\cos^{2}x=\operatorname{sen}^{2}x. \] Así, el denominador se convierte en el único término que necesitábamos: \[ \frac{\operatorname{sen}^{2}x(1-\cos x)}{1-\cos^{2}x} =\frac{\operatorname{sen}^{2}x(1-\cos x)}{\operatorname{sen}^{2}x}. \]
Paso 4: Simplificar el factor común Se cancela el factor \(\operatorname{sen}^{2}x\) del numerador y del denominador: \[ \frac{\operatorname{sen}^{2}x(1-\cos x)}{\operatorname{sen}^{2}x}=1-\cos x. \] Por tanto, la integral original se reduce a \[ \int(1-\cos x)\,dx. \]
Paso 5: Separar e integrar término a término Aplicamos la propiedad de la integral de una resta: \[ \int(1-\cos x)\,dx=\int 1\,dx-\int\cos x\,dx. \] La integral de la constante \(1\) es \(x\), y la integral de \(\cos x\) es \(\operatorname{sen}x\): \[ \int 1\,dx=x, \qquad \int\cos x\,dx=\operatorname{sen}x. \]
Paso 6: Escribir la solución y considerar el dominio \[ \boxed{\int \frac{\operatorname{sen}^{2}x}{1+\cos x}\,dx =x-\operatorname{sen}x+C} \] El integrando original no está definido cuando \(1+\cos x=0\), es decir, en \(x=(2k+1)\pi\), con \(k\in\mathbb{Z}\). La fórmula obtenida es una antiderivada en cada intervalo que no contiene esos puntos.
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La explicación, en palabras
Tenemos la integral de seno al cuadrado de equis, dividido entre uno más coseno de equis.
¿Qué nos impide aplicar directamente una propiedad básica de integración? El denominador tiene dos términos, uno más coseno de equis, y no se cancela con el seno al cuadrado del numerador.
Nos conviene convertir ese denominador en un solo término que pueda relacionarse con el seno. Para lograrlo usamos el conjugado.
El conjugado de uno más coseno de equis es uno menos coseno de equis. Multiplicamos por ese factor tanto arriba como abajo. Así estamos multiplicando la fracción por uno y conservamos su valor donde el factor no es cero.
¿Por qué elegimos precisamente el conjugado? Porque el producto de una suma por su diferencia elimina los términos centrales y produce una diferencia de cuadrados.
En el denominador obtenemos uno menos coseno al cuadrado de equis. Ya no hay una suma de dos términos separados, sino una diferencia de cuadrados que reconocemos mediante una identidad trigonométrica.
¿Qué identidad permite convertir esa expresión en un solo término? La identidad pitagórica: seno al cuadrado de equis más coseno al cuadrado de equis es igual a uno.
Al despejar, uno menos coseno al cuadrado de equis es igual a seno al cuadrado de equis.
Sustituimos esa identidad en el denominador. Ahora aparece seno al cuadrado de equis tanto en el numerador como en el denominador.
Cancelamos el factor común seno al cuadrado de equis. Solo queda uno menos coseno de equis.
La integral original se ha transformado en la integral de uno menos coseno de equis. Esta forma sí se resuelve con propiedades básicas.
Aplicamos la propiedad de la integral de una resta y separamos los dos términos.
La integral de la constante uno es equis.
La integral del coseno de equis es seno de equis. Como delante había un signo menos, el resultado es equis menos seno de equis, más ce.
Por lo tanto, la integral de seno al cuadrado de equis entre uno más coseno de equis es equis menos seno de equis, más la constante de integración.
La idea clave es esta: el conjugado no integra por sí mismo. Su función es transformar el denominador en una diferencia de cuadrados; la identidad pitagórica la convierte en seno al cuadrado, se simplifica el cociente y recién entonces aparecen las integrales básicas.
Propiedades que se aplican
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Diferencia de cuadrados El producto de dos binomios conjugados elimina los términos centrales y deja la diferencia entre los cuadrados de sus términos.\[(a+b)(a-b)=a^2-b^2\]
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Identidad trigonométrica pitagórica El cuadrado del seno más el cuadrado del coseno es uno. Despejar uno de ellos permite reemplazar una diferencia de cuadrados por un solo término trigonométrico.\[\begin{aligned} &\operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1 \\[6pt] &1-\operatorname{sen}^2x=\cos^2x=(\cos x)^2 \\[6pt] &1-\cos^2x=\operatorname{sen}^2x\end{aligned}\]
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Integral de una suma Cuando el integrando tiene varios términos separados por sumas o restas, la integral se reparte: se integra cada término por su cuenta y se conservan los signos. Cada una de esas integrales genera su propia constante, y como al sumarlas resulta otra constante, al final se escribe una sola que las representa.\[\int \bigl[f(x) \pm g(x)\bigr]\,dx \;=\; \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx\]
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Integral de una constante Cuando el integrando no contiene a la variable, la integral es esa misma constante multiplicada por la variable. Da igual la pinta que tenga —un entero, una fracción o una raíz—: lo único que decide es que no dependa de la variable.\[\int k\,dx \;=\; kx + C\]
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Seno y coseno Al integrar el seno aparece el coseno con signo negativo; al integrar el coseno aparece el seno sin cambio de signo.\[\begin{aligned} \int \operatorname{sen} u\,du &= -\cos u + C \\[6pt] \int \cos u\,du &= \operatorname{sen} u + C\end{aligned}\]
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