Problema 7:
Resuelva la siguiente integral indefinida: \[ \int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx \]
Cálculo Integral · Integral indefinida: propiedades básicas
Integral 1 raiz x
Integrar una constante, la regla de la potencia, el factor constante que sale de la integral, la suma de términos y la integral del recíproco.
Tema: Integral indefinida: propiedades básicas
Problema 7 de los 11 de este tema. Lee el enunciado, observa la figura y abre la solución en pantalla completa.
Ver el desarrollo escrito enunciado, pasos y explicación en palabras
Paso 1: Escribir el integrando como potencia Aquí se combinan las dos conversiones: la raíz pasa a exponente fraccionario y el recíproco cambia su signo. \[ \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{x^{1/2}} = x^{-1/2} \]
Paso 2: Aplicar la regla de la potencia \[ \int x^{n} \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1 \] El exponente es \( n = -\frac{1}{2} \), distinto de \( -1 \).
Paso 3: Sumar uno al exponente \[ -\frac{1}{2} + 1 = -\frac{1}{2} + \frac{2}{2} = \frac{1}{2} \] \[ \int x^{-1/2} \, dx = \frac{x^{1/2}}{1/2} + C \]
Paso 4: Simplificar la fracción del denominador Dividir entre \( \frac{1}{2} \) equivale a multiplicar por 2: \[ \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2\,x^{1/2} = 2\sqrt{x} \]
Paso 5: Comprobar derivando \[ \frac{d}{dx}\left( 2x^{1/2} + C \right) = 2 \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}} \]
Respuesta final: \[ \boxed{\int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2\sqrt{x} + C} \]
La explicación, en palabras
Tenemos la integral de uno entre raíz de equis.
Aquí hay que hacer dos conversiones: el integrando tiene una raíz, y además está en el denominador.
Vamos por partes. Primero la raíz pasa a exponente un medio. Y después, por estar en el denominador, ese exponente cambia de signo y queda menos un medio.
Con el integrando ya escrito como potencia, aplicamos la regla.
Sumamos uno a menos un medio. Menos un medio más dos medios da un medio.
Ese un medio va arriba y abajo, como siempre.
Y dividir entre un medio es multiplicar por dos. Como equis elevado a un medio es la raíz de equis, nos queda dos por raíz de equis, más ce.
Ahí lo tenemos.
Y aquí está lo que de verdad importa: por complicado que se vea el integrando, si logras escribirlo como una potencia de equis, la regla lo resuelve. Todo el trabajo está en reescribirlo antes. Y no olvidar que al final se agrega la constante de integración.
Propiedades que se aplican
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Exponentes negativos y fraccionarios Antes de integrar, el integrando se escribe como una potencia: el recíproco pasa a exponente negativo y la raíz a exponente fraccionario. Al final se deshace ese cambio para dejar la respuesta con raíz o con fracción.\[\begin{aligned} &\frac{1}{u^{n}} = u^{-n} \\[6pt] &\sqrt{u} = u^{1/2} \qquad \sqrt[m]{u^{k}} = u^{k/m}\end{aligned}\]
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Regla de la potencia La integral de una potencia sube el exponente en uno y divide entre ese nuevo exponente. No aplica cuando el exponente es menos uno, porque el denominador se anularía.\[\int u^{n}\,du \;=\; \frac{u^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \neq -1\]
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