Problema 8:
Resuelva la siguiente integral indefinida: \[ \int 4x^{3} \, dx \]
Cálculo Integral · Integral indefinida: propiedades básicas
Integral 4x3
Integrar una constante, la regla de la potencia, el factor constante que sale de la integral, la suma de términos y la integral del recíproco.
Tema: Integral indefinida: propiedades básicas
Problema 8 de los 11 de este tema. Lee el enunciado, observa la figura y abre la solución en pantalla completa.
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Paso 1: Observar el integrando El integrando es una constante multiplicando a una función que depende de \( x \): la constante es el 4 y la función es \( x^{3} \). Tal como está presentada, la regla de la potencia no se puede aplicar de forma directa, porque esa regla actúa sobre la potencia sola.
Paso 2: Extraer la constante de la integral Sacar ese 4 está permitido por una propiedad básica de la integral: \[ \int k\,f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx \] \[ \int 4x^{3} \, dx = 4 \int x^{3} \, dx \] Solo puede salir la constante: la potencia \( x^{3} \) se queda adentro porque es una variable, su valor cambia con \( x \).
Paso 3: Aplicar la regla de la potencia Dentro de la integral ya queda únicamente la potencia, así que ahora sí corresponde: \[ \int x^{n} \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1 \] El exponente es \( n = 3 \), distinto de \( -1 \): \[ 4 \int x^{3} \, dx = 4 \cdot \frac{x^{4}}{4} + C \]
Paso 4: Simplificar El 4 que salió de la integral se cancela con el 4 del denominador: \[ 4 \cdot \frac{x^{4}}{4} = x^{4} \]
Respuesta final: \[ \boxed{\int 4x^{3} \, dx = x^{4} + C} \]
La explicación, en palabras
Vamos a integrar cuatro equis al cubo.
Si observamos el integrando, tenemos una constante multiplicando a una función que depende de equis. En este caso la constante es el cuatro, y la función es equis al cubo.
¿Y podemos integrar así como está presentada? No. La regla de la potencia actúa sobre la potencia sola, y aquí la potencia viene acompañada. Primero tenemos que extraer esa constante.
¿Y está permitido sacarla? Sí, y lo permite la siguiente propiedad básica.
Lo que nos dice esta propiedad es que cuando el integrando es una constante por una función, la constante puede salir del signo integral y quedarse multiplicando por fuera. Adentro se queda la función sola, que es la que vamos a integrar. Y ese número que salió multiplica al resultado al final.
Y ojo con esto, que es donde más se falla: solo sale la constante. La equis al cubo no puede salir, porque es una variable. Y lo que lleva la variable se queda adentro: eso es lo que hay que integrar.
Entonces el cuatro sale afuera, y adentro nos queda la integral de equis al cubo, sola.
Y ahora que adentro quedó únicamente la potencia, sí podemos aplicar la regla de la potencia.
El exponente es tres, le sumamos uno y nos da cuatro: arriba como nuevo exponente y abajo dividiendo. Y el cuatro que dejamos afuera sigue multiplicando.
Ahora mira lo que pasa: el cuatro de afuera y el cuatro de abajo se cancelan.
Así que nos queda simplemente equis a la cuarta, más ce.
Y ese es el resultado: la integral de cuatro equis al cubo es igual a equis a la cuarta, más ce.
¿Y qué nos llevamos de este ejercicio? Que cuando una constante multiplica a la función, la sacamos de la integral, resolvemos la integral que queda adentro, y ese número multiplica al resultado. La constante sale, la variable nunca. Y como se trata de una integral indefinida, al final se agrega la constante de integración.
Propiedades que se aplican
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Constante fuera de la integral Un factor constante puede salir del signo integral y esperar afuera: se integra lo que queda adentro y al final se multiplica. Solo sale lo que no depende de la variable. También es lo que permite usar la sustitución cuando el factor que acompaña no es la derivada exacta, sino un múltiplo de ella.\[\int k\,f(x)\,dx \;=\; k \int f(x)\,dx\]
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Regla de la potencia La integral de una potencia sube el exponente en uno y divide entre ese nuevo exponente. No aplica cuando el exponente es menos uno, porque el denominador se anularía.\[\int u^{n}\,du \;=\; \frac{u^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \neq -1\]
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