Problema 6:
Resuelva la siguiente integral indefinida: \[ \int \frac{1}{x^{3}} \, dx \]
Cálculo Integral · Integral indefinida: propiedades básicas
Integral 1 x3
Integrar una constante, la regla de la potencia, el factor constante que sale de la integral, la suma de términos y la integral del recíproco.
Tema: Integral indefinida: propiedades básicas
Problema 6 de los 11 de este tema. Lee el enunciado, observa la figura y abre la solución en pantalla completa.
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Paso 1: Escribir el cociente como potencia La regla de la potencia no se aplica sobre una fracción, pero el recíproco equivale a un exponente negativo: \[ \frac{1}{x^{3}} = x^{-3} \]
Paso 2: Aplicar la regla de la potencia \[ \int x^{n} \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1 \] El exponente es \( n = -3 \), distinto de \( -1 \).
Paso 3: Sumar uno al exponente \[ -3 + 1 = -2 \] \[ \int x^{-3} \, dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C \]
Paso 4: Volver a la notación con fracción \[ \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^{2}} \]
Paso 5: Comprobar derivando \[ \frac{d}{dx}\left( -\frac{1}{2}x^{-2} + C \right) = -\frac{1}{2}(-2)x^{-3} = x^{-3} = \frac{1}{x^{3}} \]
Respuesta final: \[ \boxed{\int \frac{1}{x^{3}} \, dx = -\frac{1}{2x^{2}} + C} \]
La explicación, en palabras
Veamos la integral de uno entre equis al cubo.
El integrando no tiene la forma que la regla pide: es una fracción, no una potencia.
Pero uno entre una potencia es esa misma potencia con el exponente cambiado de signo. Así que uno entre equis al cubo es equis elevado a menos tres.
Ahora sí podemos aplicar la regla.
Sumamos uno a menos tres. Ojo aquí, que es donde más se falla: menos tres más uno es menos dos, no menos cuatro.
Ese menos dos va arriba de exponente y abajo dividiendo. El signo se conserva en los dos sitios.
Y ahora deshacemos el cambio, para dejar la respuesta presentable. Equis elevado a menos dos vuelve a ser uno entre equis al cuadrado, y el menos dos de abajo se lleva el signo. Nos queda menos uno entre dos equis al cuadrado.
Para terminar, la idea clave: si la potencia está abajo, súbela cambiándole el signo al exponente. Cuando termines, devuélvela a como estaba. Y no olvidar que al final se agrega la constante de integración.
Propiedades que se aplican
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Exponentes negativos y fraccionarios Antes de integrar, el integrando se escribe como una potencia: el recíproco pasa a exponente negativo y la raíz a exponente fraccionario. Al final se deshace ese cambio para dejar la respuesta con raíz o con fracción.\[\begin{aligned} &\frac{1}{u^{n}} = u^{-n} \\[6pt] &\sqrt{u} = u^{1/2} \qquad \sqrt[m]{u^{k}} = u^{k/m}\end{aligned}\]
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Regla de la potencia La integral de una potencia sube el exponente en uno y divide entre ese nuevo exponente. No aplica cuando el exponente es menos uno, porque el denominador se anularía.\[\int u^{n}\,du \;=\; \frac{u^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \neq -1\]
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