Problema 5:
Resuelva la siguiente integral indefinida: \[ \int \sqrt{x} \, dx \]
Cálculo Integral · Integral indefinida: propiedades básicas
Integral raiz x
Integrar una constante, la regla de la potencia, el factor constante que sale de la integral, la suma de términos y la integral del recíproco.
Tema: Integral indefinida: propiedades básicas
Problema 5 de los 11 de este tema. Lee el enunciado, observa la figura y abre la solución en pantalla completa.
Ver el desarrollo escrito enunciado, pasos y explicación en palabras
Paso 1: Escribir la raíz como potencia La regla de la potencia necesita ver un exponente, y la raíz cuadrada equivale al exponente \( \frac{1}{2} \): \[ \sqrt{x} = x^{1/2} \]
Paso 2: Aplicar la regla de la potencia \[ \int x^{n} \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1 \] El exponente es \( n = \frac{1}{2} \), distinto de \( -1 \).
Paso 3: Sumar uno al exponente \[ \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3}{2} \] \[ \int x^{1/2} \, dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C \]
Paso 4: Simplificar la fracción del denominador Dividir entre \( \frac{3}{2} \) equivale a multiplicar por \( \frac{2}{3} \): \[ \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}\,x^{3/2} \]
Paso 5: Comprobar derivando \[ \frac{d}{dx}\left( \frac{2}{3}x^{3/2} + C \right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{1/2} = \sqrt{x} \]
Respuesta final: \[ \boxed{\int \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3}\,x^{3/2} + C} \]
La explicación, en palabras
Vamos a integrar la raíz de equis.
La regla de la potencia necesita ver un exponente, y aquí lo que hay es una raíz. Así que primero la reescribimos.
La raíz cuadrada es lo mismo que el exponente un medio. Este es el paso que facilita el desarrollo del ejercicio.
Ahora que tenemos el exponente claramente identificado, ya podemos aplicar la propiedad correspondiente.
Sumamos uno a un medio. Escribimos el uno como dos medios, y un medio más dos medios da tres medios.
Ese tres medios va arriba de exponente, y abajo dividiendo.
Nos queda una fracción dividida entre otra fracción, que se ve incómoda. Pero dividir entre tres medios es multiplicar por dos tercios.
Y ahí está el resultado: dos tercios de equis elevado a tres medios, más ce.
Lo que no se te debe olvidar es esto: si ves una raíz, pásala a exponente antes de integrar. La regla funciona igual con exponentes fraccionarios. Y no olvidar que al final se agrega la constante de integración.
Propiedades que se aplican
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Exponentes negativos y fraccionarios Antes de integrar, el integrando se escribe como una potencia: el recíproco pasa a exponente negativo y la raíz a exponente fraccionario. Al final se deshace ese cambio para dejar la respuesta con raíz o con fracción.\[\begin{aligned} &\frac{1}{u^{n}} = u^{-n} \\[6pt] &\sqrt{u} = u^{1/2} \qquad \sqrt[m]{u^{k}} = u^{k/m}\end{aligned}\]
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Regla de la potencia La integral de una potencia sube el exponente en uno y divide entre ese nuevo exponente. No aplica cuando el exponente es menos uno, porque el denominador se anularía.\[\int u^{n}\,du \;=\; \frac{u^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \neq -1\]
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