Problema 9:
Resuelva la siguiente integral indefinida: \[ \int (5x^{2} + 4) \, dx \]
Cálculo Integral · Integral indefinida: propiedades básicas
Integral 5x2 4
Integrar una constante, la regla de la potencia, el factor constante que sale de la integral, la suma de términos y la integral del recíproco.
Tema: Integral indefinida: propiedades básicas
Problema 9 de los 11 de este tema. Lee el enunciado, observa la figura y abre la solución en pantalla completa.
Ver el desarrollo escrito enunciado, pasos y explicación en palabras
Paso 1: Contar los términos del integrando La suma y la resta son las que separan los términos, de modo que \( 5x^{2} + 4 \) tiene dos. Tal como está presentada, no hay una sola propiedad que resuelva esta integral de forma directa.
Paso 2: Separar cada término con su propia integral Esto queda justificado por la propiedad de la integral de una suma: \[ \int \bigl[ f(x) \pm g(x) \bigr] \, dx = \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx \] \[ \int (5x^{2} + 4) \, dx = \int 5x^{2} \, dx + \int 4 \, dx \]
Paso 3: Integrar el primer término El integrando es una constante multiplicando a una función que depende de \( x \), así que la constante se extrae y a la potencia se le aplica la regla de la potencia: \[ \int 5x^{2} \, dx = 5 \int x^{2} \, dx = 5 \cdot \frac{x^{3}}{3} + C_{1} = \frac{5}{3}x^{3} + C_{1} \] El 5 y el 3 no se cancelan, porque no son iguales: quedan como la fracción \( \frac{5}{3} \).
Paso 4: Integrar el segundo término Aquí el integrando es una constante, y una constante se integra multiplicándola por la variable: \[ \int 4 \, dx = 4x + C_{2} \]
Paso 5: Reunir las constantes de integración Cada integral genera su propia constante, y son distintas entre sí. Al sumarlas se obtiene otra constante, que se escribe simplemente \( C \): \[ C_{1} + C_{2} = C \] Por eso al final se coloca una sola constante, que representa a todas.
Respuesta final: \[ \boxed{\int (5x^{2} + 4) \, dx = \frac{5}{3}x^{3} + 4x + C} \]
La explicación, en palabras
Tenemos una integral con dos términos.
Y recuerden que la suma o la resta es lo que separa los términos. Aquí hay un signo más, así que son dos: el primero, cinco equis al cuadrado; el segundo, cuatro.
Así como está presentada, no tenemos una propiedad que resuelva esta integral. Es por ello que tenemos que separar cada término con su propia integral.
Y eso queda justificado por la siguiente propiedad.
La integral de una suma se separa en la suma de las integrales de cada término. Y si en vez de una suma hubiera una resta, se separa igual, respetando el signo.
Entonces separamos: la integral de cinco equis al cuadrado, más la integral de cuatro.
Luego integramos cada función. En el primer término tenemos una constante multiplicando a una función que depende de equis, así que extraemos la constante, por la propiedad que ya conocemos.
Adentro queda la potencia, y le aplicamos la regla de la potencia: el exponente sube de dos a tres, y dividimos entre ese tres. Y tengan presente algo: esta integral genera su propia constante, que llamamos ce uno.
En el otro término, el integrando es una constante: se integra multiplicándola por equis, y nos da cuatro equis. Y esta segunda integral genera la suya, ce dos.
Aquí atención: el cinco y el tres no se cancelan, porque no son iguales. Quedan como fracción, cinco tercios.
Tengan presente que cada integral genera su propia constante, y son diferentes: por eso una es ce uno y la otra es ce dos.
Al final esas dos constantes se sumarían, formando otra constante. Es por ello que la constante de integración se agrega al final, una sola.
Juntamos todo: cinco tercios de equis al cubo, más cuatro equis, más ce.
Y para cerrar, una observación importante: si tienen varias integrales, cada una genera su propia constante de integración. Pero para no estar escribiendo todas ellas, al final colocamos solo una que las represente.
Propiedades que se aplican
-
Integral de una suma Cuando el integrando tiene varios términos separados por sumas o restas, la integral se reparte: se integra cada término por su cuenta y se conservan los signos. Cada una de esas integrales genera su propia constante, y como al sumarlas resulta otra constante, al final se escribe una sola que las representa.\[\int \bigl[f(x) \pm g(x)\bigr]\,dx \;=\; \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx\]
-
Constante fuera de la integral Un factor constante puede salir del signo integral y esperar afuera: se integra lo que queda adentro y al final se multiplica. Solo sale lo que no depende de la variable. También es lo que permite usar la sustitución cuando el factor que acompaña no es la derivada exacta, sino un múltiplo de ella.\[\int k\,f(x)\,dx \;=\; k \int f(x)\,dx\]
-
Regla de la potencia La integral de una potencia sube el exponente en uno y divide entre ese nuevo exponente. No aplica cuando el exponente es menos uno, porque el denominador se anularía.\[\int u^{n}\,du \;=\; \frac{u^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \neq -1\]
-
Integral de una constante Cuando el integrando no contiene a la variable, la integral es esa misma constante multiplicada por la variable. Da igual la pinta que tenga —un entero, una fracción o una raíz—: lo único que decide es que no dependa de la variable.\[\int k\,dx \;=\; kx + C\]
¿Y si tu problema es otro?
Escríbelo y el asistente matemático lo resuelve paso a paso, con su gráfica cuando el problema la necesita. Las primeras consultas no cuestan nada.
Resolver mi problema Entras con tu cuenta de Google. No hace falta tarjeta.