Problema 4:
Resuelva la siguiente integral indefinida: \[ \int x^{2} \, dx \]
Cálculo Integral · Integral indefinida: propiedades básicas
Integral x2
Integrar una constante, la regla de la potencia, el factor constante que sale de la integral, la suma de términos y la integral del recíproco.
Tema: Integral indefinida: propiedades básicas
Problema 4 de los 11 de este tema. Lee el enunciado, observa la figura y abre la solución en pantalla completa.
Ver el desarrollo escrito enunciado, pasos y explicación en palabras
Paso 1: Identificar el método apropiado El integrando es una potencia de \( x \), así que corresponde la regla de la potencia: \[ \int x^{n} \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1 \]
Paso 2: Verificar la condición El exponente es \( n = 2 \), distinto de \( -1 \), de modo que la regla es aplicable.
Paso 3: Sumar uno al exponente y dividir entre el nuevo exponente \[ n + 1 = 2 + 1 = 3 \] \[ \int x^{2} \, dx = \frac{x^{3}}{3} + C \]
Paso 4: Comprobar derivando \[ \frac{d}{dx}\left( \frac{x^{3}}{3} + C \right) = \frac{3x^{2}}{3} = x^{2} \]
Respuesta final: \[ \boxed{\int x^{2} \, dx = \frac{x^{3}}{3} + C} \]
La explicación, en palabras
Vamos a integrar equis al cuadrado.
Mira el integrando: lleva la variable equis, así que no es una constante. Lo que tenemos es una potencia.
Y las potencias tienen su propia regla.
Dice así: la integral de equis elevado a ene es equis elevado a ene más uno, dividido entre ene más uno, más ce. Eso sí, con una condición: ene no puede ser menos uno.
Y esa condición tiene una justificación. Si ene fuera menos uno, abajo quedaría un cero, y no se puede dividir entre cero.
En nuestro caso el exponente es dos, así que no hay problema. Le sumamos uno y nos da tres.
Ese tres se escribe en dos sitios: arriba como el nuevo exponente, y abajo dividiendo.
¿Qué podemos observar a partir de este ejercicio? Que para integrar una potencia, mentalmente le aumentamos uno al exponente, y dividimos entre ese mismo resultado. Y no olvidar que al final se agrega la constante de integración.
Propiedades que se aplican
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Regla de la potencia La integral de una potencia sube el exponente en uno y divide entre ese nuevo exponente. No aplica cuando el exponente es menos uno, porque el denominador se anularía.\[\int u^{n}\,du \;=\; \frac{u^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \neq -1\]
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