Problema 13:
Resuelva la siguiente integral indefinida: \[ \int \sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2x\right)\,dx \]
Cálculo Integral · Integral indefinida: propiedades básicas
Integral de √x(√x+2x) paso a paso
Integrar una constante, la regla de la potencia, el factor constante que sale de la integral, la suma de términos y la integral del recíproco.
Tema: Integral indefinida: propiedades básicas
Problema 13 de los 15 de este tema. Lee el enunciado, observa la figura y abre la solución en pantalla completa.
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Paso 1: Observar la estructura del integrando El integrando es un producto entre \( \sqrt{x} \) y una suma. Antes de integrar, conviene desarrollar el producto para obtener términos independientes. En números reales se requiere \( x \geq 0 \).
Paso 2: Aplicar la propiedad distributiva Se multiplica \( \sqrt{x} \) por cada término del paréntesis: \[ \sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2x\right)=\sqrt{x}\sqrt{x}+2x\sqrt{x} \]
Paso 3: Escribir las raíces como potencias y simplificar Como \( \sqrt{x}=x^{1/2} \), al multiplicar potencias de la misma base se suman sus exponentes: \[ \sqrt{x}\sqrt{x}=x^{1/2}x^{1/2}=x \] \[ 2x\sqrt{x}=2x^{1}x^{1/2}=2x^{3/2} \] Por tanto, \[ \int \sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2x\right)dx=\int \left(x+2x^{3/2}\right)dx \]
Paso 4: Separar la suma y extraer la constante La integral se reparte entre los dos términos y el factor constante 2 sale del segundo: \[ =\int x\,dx+2\int x^{3/2}\,dx \]
Paso 5: Aplicar la regla de la potencia La regla \( \int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \) se aplica a ambos términos: \[ \int x\,dx=\frac{x^{2}}{2} \] \[ 2\int x^{3/2}\,dx=2\left(\frac{x^{5/2}}{5/2}\right)=\frac{4}{5}x^{5/2} \]
Paso 6: Reunir los términos Las constantes generadas por las integrales se reúnen en una sola constante de integración, escrita al final: \[ \int \sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2x\right)dx=\frac{x^{2}}{2}+\frac{4}{5}x^{5/2}+C \]
Respuesta final: \[ \boxed{\int \sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2x\right)dx=\frac{x^{2}}{2}+\frac{4}{5}x^{5/2}+C} \]
La explicación, en palabras
Tenemos la integral de raíz de equis por el paréntesis raíz de equis más dos equis.
¿Podemos aplicar directamente una regla de integración a este producto? No. Primero debemos desarrollar el paréntesis.
Usamos la propiedad distributiva: el factor exterior multiplica a cada término de la suma.
Así obtenemos raíz de equis por raíz de equis, más dos equis por raíz de equis.
Para simplificar, escribimos cada raíz cuadrada como equis elevada a un medio.
Al multiplicar potencias de la misma base, conservamos la base y sumamos los exponentes.
Un medio más un medio es uno; y uno más un medio es tres medios. El integrando queda equis, más dos equis elevado a tres medios.
Ahora aparece una suma. La separamos y sacamos el factor constante dos del segundo término.
Queda la integral de equis, más dos multiplicado por la integral de equis elevada a tres medios.
En ambas aplicamos la regla de la potencia: aumentamos el exponente en uno y dividimos entre el nuevo exponente.
En la primera, el exponente uno aumenta a dos. Por eso obtenemos equis al cuadrado entre dos.
En la segunda, tres medios más uno es cinco medios. Dividir entre cinco medios equivale a multiplicar por dos quintos.
Al multiplicar el dos exterior por dos quintos obtenemos cuatro quintos. Así reunimos los dos términos.
Las constantes que produce cada integral se agrupan en una sola; por eso ce se escribe únicamente al final.
La respuesta es equis al cuadrado entre dos, más cuatro quintos de equis elevada a cinco medios, más ce.
Como podemos observar, la clave fue desarrollar el producto y convertir las raíces en potencias. Después de simplificar, aparecieron dos integrales básicas que resolvimos directamente.
Propiedades que se aplican
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Propiedad distributiva Un factor situado fuera de un paréntesis multiplica a cada término de la suma o la resta que contiene. Desarrollar el producto permite obtener términos que pueden simplificarse e integrarse por separado.\[a\,(b \pm c)=ab \pm ac\]
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Exponentes negativos y fraccionarios Antes de integrar, el integrando se escribe como una potencia: el recíproco pasa a exponente negativo y la raíz a exponente fraccionario. Al final se deshace ese cambio para dejar la respuesta con raíz o con fracción.\[\begin{aligned} &\frac{1}{u^{n}} = u^{-n} \\[6pt] &\sqrt{u} = u^{1/2} \qquad \sqrt[m]{u^{k}} = u^{k/m}\end{aligned}\]
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Producto de potencias de igual base Cuando se multiplican potencias que tienen la misma base, la base se conserva y los exponentes se suman.\[x^{m}\,x^{n}=x^{m+n}\]
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Integral de una suma Cuando el integrando tiene varios términos separados por sumas o restas, la integral se reparte: se integra cada término por su cuenta y se conservan los signos. Cada una de esas integrales genera su propia constante, y como al sumarlas resulta otra constante, al final se escribe una sola que las representa.\[\int \bigl[f(x) \pm g(x)\bigr]\,dx \;=\; \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx\]
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Constante fuera de la integral Un factor constante puede salir del signo integral y esperar afuera: se integra lo que queda adentro y al final se multiplica. Solo sale lo que no depende de la variable. También es lo que permite usar la sustitución cuando el factor que acompaña no es la derivada exacta, sino un múltiplo de ella.\[\int k\,f(x)\,dx \;=\; k \int f(x)\,dx\]
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Regla de la potencia La integral de una potencia sube el exponente en uno y divide entre ese nuevo exponente. No aplica cuando el exponente es menos uno, porque el denominador se anularía.\[\int u^{n}\,du \;=\; \frac{u^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \neq -1\]
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